Q. 3. dx^ ^ X'CTCT
la même chose que les dérivées di^x, p2(pa:, B^(px, etc. : et même lorsqu'on regarde y comme fonction de a;, et dx comme invariable, nous écrirons
dy d^y d^. y
V»?'-JK»^V» etc. au lieu de -^,.--^, __Z , etc.; dans ce
cas , il ne faut pas regarder y comme la variable , mais comme le signe abrégé de la fonction de la variable x. Il est essentiel de ne pas confondre les ô avec les d : les ô servent à indiquer des dérivées , les signes d désigneront toujours des différentielles , en conservant leur signification ordinaire. Nous n'avons pas voulu nous servir de points après les d , comme nous le faisons pour les D et les ^ , afin, de ne pas trop nous écarter des notations reçues dans le calcul différentiel.
553. Après ces éclaircissemens , proposons -nous la question suivante: Soit y^ ou (px une fonction quelconque de ^ , et que dx soit variable d'une manière quelconque , ensorte que la différentielle de d^ soit d^jc, que celle de d'^x soit d^x , et ainsi de suite ; supposons de plus qu'on ait calculé
^ ^ ^r,^ , ' ,. d(T)x d'^(f)x d^Cbx .
o(px y d^(px^ o^(pj(iy etc. , c est -à -dire — p — , — r-^ , ■ ^^ , etc. , lorsque
dx est constante : on demande à déduire les unes des autres , tout réduites et de la manière la plus prompte , les différentielles successives divisées et non divisées de P^ ou (px,
' 354. Puisque do: est variable, il faut considérer x lui-même comme une fonction connue ou inconnue d'une quantité ù dont on regardera la différentielle d^ comme invariable : ainsi représentant x par f ^ , si ^ devient <t -H A^, ou ^ -H r en mettant r au lieu de At, a^^ieviendra
dx d^x d^x r, , ^
, ^ -*- dF • ^ + ITT^F- ^ + rZXdïJ ■ ^' + «"^- ' ••••(•)
OU , par nos notations ,
dx d^x d^x z
^ -*- dJ ■ '^ + dTT • '■^ + -ïï^ • '•' +- «t<=. : ....(a)
et,
DES DÉRIVATIONS. SoQ
et, puisque 7^= cpx, on aura aussi P^ = (p£t = Ft^ en mettant F au lieu du double signe (pf; donc /^, qui est fonction prochaine de ar , peut aussi être regardé comme fonction éloignée de ^ ; et , lorsque t devient / + r , Ton aura pour V -\- l^V ^
dar d^o; d^a: ,, . • * • 'W
OU bien , en employant nos notations ,
àr à-^y d^r „
, da? d^x d^x r, .
<p(^ ^ __.^ + ^ . ^. HH ^. ^3 + etc.).
Cette équation devant subsister quel que soit r? il n'y aura qu'à développer le second membre suivant les puissances de r; le coefficient de t" de ce
développement sera égal à ^ — , c'est - à - dire à la dérivée divisée
de V de Tordre n; et , en multipliant ce coefficient par d^« , il sera égal à ^"^j c'est-à-dire à la différentielle divisée de V de l'ordre n.
35v5. Pour effectuer ce développement par nos règles du §. II de l'article premier, il suffit de comparer le second membre de l'équation (3) ou (4) avec
<Pv«î + ^r -H yr^ ^-H èr"^ -\- etc.),
ou
(p{c6 -\- -D.oc.r -{- 'g-.x.r^ -h p^. a. r^ + etc.).
d.3? d- 'K Cette comparaison donne oc = x , C = t>.oc = -jt— , y = i^^.oc = ^-7—
d-^tî d^'c d'^x
.= ^ , ^= P^- « = -77^737373 ' ^ dF ^*^' ' ^* ^^^^ ^^^'^ (^u'on peut appliquer
ici la règle du n.° 3o , avec celte seule modification qu'en mettant d au lieu de D , chaque fois que, d'après la règle du n.° 3o , on change une lettre dans la suivante, ou qu'on change y. oc en ç''+».a, ici il faut augmenter de l'unité l'indice de d devant x, diviser par cet exposant augmenté et par d/^, ou
changer ^ry en *' ^ . En suivant ainsi la règle du n.** 3o, on déduira les
unes des autres les dérivées successives de /^, déjà tout réduites et sa«s qu'on ait besoin de faire ni substitutions ni réductions , comme il suit :
3lO DUCALCUL
dP^ d(px dx ^
dF da; ' ~dF '
d^P^ d(px d^x d^(px /<î^N^
