d^2 do; * 1. Q. d^2 1. Q. di2 ' ^"di
d^/^ d^po: d^o; d^^x da: d^a; d^^px /^^\^
i.Q.3.d^3 dor * i.Q.3.d^3 TTôTdx^ ' ^ dJ i. q. dl^ i. Q.3.da;3 * W^ '
d4/^ d(px d^x d^{px ( dx d^x d^ar .^)
i.2.3.4.dM da; i.Q.3.4.d^4 "^ i.2.àx^l dFi.Q.3.d^3 ^i.a.d^^
"^ 1. 2. 3. dx3 ^ ^d7^ 1. 2. d^=^ "^ 1.2.3.4. dx4 * ^dù^ ' et ainsi de suite.
356. Si au lieu des dérivées , on veut déduire les unes dés autres les différentielles divisées ; on voit que, tous les termes de chacune des formules (5) que nous venons de trouver étant divisés par la même puissance de d^, il suffit de multiplier par les d^j ainsi, en suivant la règle du n.» 3o, et faisant" usage des notations proposées au n.^ 352 , on déduira sur-le-champ les unes des autres les différentielles de V = cpx tout réduites , comme il suit :
dV = ^(^x. dxf.
d3/^ = 'd(px. d^x + '^^(px. dx^ ,
d^F =;= 'bÇx. d^ar H- "^^(px. 2da'. d2a; ■+- ^^^x. da;^ ,
d4F"= 'd{px.d^x -f- ^^(px.{2dx.cpx + (§-a:)2J -j- ^^^p;,.. 3da;2. dsa; -4- ^4(pa;. dx4,
^^F' = ô^a:. d^a: -f- ^^^p^. j 2dx.d4a; H- ad^a?. d^a:}
-h-^^ço;. J3da;2.d3a; ^ 3da;(d2a:)*} + ^4(pa:.4da;3.d2a: + ^5^a:.da:5 ,
et ainsi de suite,
357. Si l'on veut déduire les unes des autres les différentielles non divisées de /^, ce qu'on demande ordinairement dans le calcul différentiel ; avant de faire sur le développement de la différentielle donnée d"/^, les dérivations dont nous venons de parler dans le numéro précédent , il suffît , conformément à la règle du n." 35 , de multiplier tous les termes de d'/^par l'indice n-+- i de la différentielle suivante d" ■+' ' ^. On aura ainsi :
dy = 'd(px. dx ,
d^y = 'à(px.d^x -^ 'd^(px.dx^ , *
d^f^ = 'àÇx.d^x -h ^^Çx,3dx.d^x -h 'à^(px»dx'^y 1
DES DÉRIVATIONS. 3il
d4^ == h(px.d^x + 'd^(px.{iâx.à^x -H 3(d2j:)*j -+- 'd^(px.6àx^A^x -H^<^.dx4,
d5/^ = ô^a;.d5x H- ô^<par. {5dx.d4a; -+- lod^x.d^orj
4- 'd'^cpx. [ ioda;2.d% -f- i5da:. (d«a:)2 J + M^x. lodx^.d^x + ^S^pj^. dar5 ,
d6>^ = î>(px.d6ar + 'd''(px.\6dx.d^x -+- i5d2a:.d4x -{- io(d=a;)5} 4- Î>3(pa:.{i5dx^d4a: + 3oda:. 2d2x.d3x 4- i5(d2x)^j ■+- Ô4(px. { 2oda;5. d% H- 45dar^(d2x)*j -f- ^S^p^^. i5da:4.d2x 4- d^^x-dx^.
On continuera ainsi , sans s'arrêter, autant qu'on voudra : les coëfïiciens numériques réduits se forment toujours sans embarras à mesure qu'on avance.
358. L'importance des procédés dont nous venons de faire usage , nous engage d'en donner l'énoncé, et nous fait penser qu'on ne taxera pas de superflues les règles suivantes , quoiqu'elles ne soient qu'une traduction de celles des n.°^ 3o et 35, traductions très -faciles à faire, lorsqu'on a bien saisi les relations entre les différentielles et les dérivées en général.
RÈGLE. Pour déduire une différentielle divisée d' une fonction dex, d'un ordre quelconque m -\- 1 , de celle de l'ordre précédent m , c'est-à-dire pour déduire le développement de d'" + i(px de celui de à^cpx, àx étant ^variable:
Dans chaque terme du développement donné de d'^cpx , on ne fait ^varier que la seule différentielle de oc de l'ordre le plus haut ^ et en outre celle de l'ordre inférieur de T unité , si elle se trouve dans le terme : on augmente de l'unité l'indice de chaque différentielle de x qu on fait varier, et l'on divise par cet indice augmenté , c'est-à-dire on écrit d"+*a; au lieu de d'à;. On divise de plus par l'exposant de chaque puissance nouvelle qui se forme dans le cours du calcuL
35g. Règle. Pour déduire une différentielle non divisée 6.'^+^ (px de celle de l'ordre inférieur de l'unité àP^cpx , qu'on suppose développée ; multipliez chacun des termes du développement de èJ^C^xparni -+- 1 , indice de l'ordre de la différentielle cherchée; puis suivez exactement la règle précédente,
36o. Ayant la différentielle A^cpx développée , si l'on veut en déduire celle qui la précède, ^^ -» <p x , et qui est de l'ordre moindre de l'unité, on conclura sans peine de la règle du n.° 36 une règle pareille et inverse de celle ci-dessus n.'^SiS, Le lecteur en formera facilement l'énoncé, s'il le juge nécessaire.
3l2 ' DUCALCUL
36 1. Le principal avantage de nos méthodes abrégées consiste à faire trouver sur-le-champ une différentielle d'un ordre quelconque, où dx est variable, sans passer par les différentielles des ordres inférieurs. Faisons donc encore voir comment le théorème du n/ qo et les règles données dans le § III de l'article premier s'appliquent à la solution du problème suivant.
Soit /^ ou (px une fonction quelconque de x , et que dx soit variable , on demande immédiatement la différentielle divisée et non divisée de l'ordre 72 de ^, c'est-à-dire le développement de d«/^ ou d"(pa: et de d"P^ ou à"(px, en supposant qu'on ait déjà calculé ou qu'on connoisse ô^o;, ^'^(px, ^^^x, etc.
362. Pour la différentielle divisée , on a d'abord par le n.° qo , d'*(px == '^''(px.{dxy H- ^''-»(par.d(da:)'»-i H- ^- a^x.d2(dx)«-2
+ etc. -h 'è^(px.d"-^{dxy -H B(pa:.d''-»(da;): il ne reste plus qu'à développer (da:)«, d(da;)«-i, iP{dxy-^ , etc., en appliquant la règle du n.° 43 ; ou à déduire les uns des autres les développemens de d« - » ( d a: ) , d"-^(dxy y d« - ^ ( d x )^ , etc. , dans l'ordre inverse du précédent, en appliquant la règle du n." 47 : on considérera toujours da; comme une première quantité , c'est-à-dire qu'on écrira d"x au lieu de d«- ' (dx) ; d'^-^x au lieu de d"~^(dx) , etc.
Exemple. Supposons qu'on demande la différentielle sixième divisée d^cp-i^. On aura sur-le-champ :
d^(px = '^^(px.dx^ -H '^^(px.5dx^.d'^x -f- '^(px.\4.dx'^.Qpx. -h 6dx^(d2xy} H- 'd'^(px.{3dx^.d^x ~j- 3dx.2ihx.ipx -H (d'a:)3} -f- '^^(px.{2dx.d^x -f- ^d^x.d^ix -j- {d^xy} -+- 'dipx.d^x.
363. Pour la différentielle d"(px non divisée , la règle se déduit des n.°^ «20 et 45 , et on peut la réduire à l'énoncé suivant :
RÈGLE, ^près avoir écrit successivement; ^"(px, ^"^-^(px , ^'^-^(px, etc.; pour déduire les uns des autres et de dx^, facteur de^^Cpx , les facteurs de b" -^ cp a; , ^''"^(px , etc. , dans le facteur trouvé on multiplie chaque terme par l'exposant de la puissance dedx qui l'affecte, puis on diminue cet exposant de V unité, ylpies cette préparation , on fait ^varier dans chaque terme dujacieur trouvé la différentielle de dx de l'ordre le plus haut, et encore celle de l'ordre immédiatement moindre que la plus haute , si elle se trouve dans le terme : on divise par chaque indice qu'on a augmenté , et de plus par l'exposant de chaque nouvelle puissance qui se forme dans le cours de f opération.
De
DES DÉRIVATIONS.. 3l3
De cette manière , de 'd"(px.dx", différentielle w'^™* de (px, dx étant invariable, on déduira , sur-le-champ et sans s'arrêter , tous les termes qu'il faut ajouter à ô'*(pa;.da;«, pour avoir d«^a:, lorsque dx est variable.
Exemples. On demande le développement de d^cpx et de d7(pa;, da; étant variable.
On a 'd^(px,dx^ pour premier terme de d^(px; de là on déduit les autres
comme il suit :
