d^(px = ^^(px,dx^ -h 'd^(px. — — da:4. d^x
H-^^(2>a?4 ' 'J da;5. d^o: H i__l± — dx^.(d^xY\
^„ ,6.5.4.3., 1/ 6.5.4.3.2, ,„ ,- . 6.5.4.3.2.1,, .„, -^^^(LxA 7^ — dx^.d^x -\ — T-dx. 2d2a;.d3a; H 2 (^^2j;\Z\
H~ ^^(DxA ^ — dx.dSx -{ ï-5 2daa;.d4a: H ^^-^-^(d^xY \
-4- 'd(px.d^x.
Quand on aura acquis un peu d'habitude à pratiquer la régie , on fera bien
de réduire tout de suite les coëfîiciens numériques, et Ton trouvera ainsi
sur-le-champ
d^^x = b^cp. da:6 f, ô5(px. i5da;4. d^x H- 'd^(px.\7odx\d^x -\- ^5dx'^.{d^x)^\
-h 'd'^(px{i5dx^,d^x -H 3oda:. 2d2a;.d3ar -+- i5{d^x)^\
■+- ^^(px.{6dx.d^x H- i5d2x.d4ar + loCd^xj^j H- ^(px.d^x.
On aura pareillement, pour d7(pa;, en déduisant tout du seul premier terme
^7(px.dx7 ,
d7<px = 'd7(px.dx7 -+- ô^^pj;. Qidj^S. da^
-H 'd^(px.{35dx^.d^x -H io5da:5.(d»a:)*j
•+- ^^(px.[35dx\d^x -H 2 1 o d x^. d*x. d% H- io5dar. (d*a:)3j
-f- 'd^(px. [<2idx\d^x H- io5da;.d*x.d4j; -h 7oda:.(d3a:)* + io5{d^xyA^x\
-+- 'd^(px.\7dx.d^x -H 2 1 d^o:. d^o; .4- 35d3x. d4a;| -+- 'd(px,d7x.
364. On formera aussi sans peine, d'après les n.°* 47 et 49 » une règle pour calculer sur-le-champ la différentielle divisée d''<pa:, ou, d'après le n.**5o, une règle pour calculer la différentielle non divisée d^cpo:, en partant, non du terme ^"(px. dx" ou B^cpx. dx", mais bien du terme ^(px.'d"x ou ôcpx.d^x. Comme ces sortes de traductions de régies n'ont point de difficulté, je les laisse à faire au lecteur.
Kkkk
3i4 DUCAiiCur.
365. Lorsqu'on a une fonction quelconque de a:, et que àx est invariable, nos méthodes abrégées de dérivation servent encore , soit à faciliter les différentiations successives , soit à faire trouver immédiatement l'expression de la dérivée ou de la différentielle d'un ordre quelconque. Des exemples vont en indiquer la manière.
Soit J^ = (p[a -\- bx -h cx"^ -+- dx^ -f- ex'^\ , pour en avoir la différentielle de l'ordre n , à.x étant invariable ; il est visible qu'en mettant x + dx à la place de or , la différentielle divisée de l'ordre n n'est autre chose que le terme affecté de dx" dans le développement de
CP { « -H b{x -4- dx) H- c(x H- àxf -f- d{x -h àxf -{- e{x -\- dx)4}. Je développe d'abord le polynôme de cette fonction suivant les puissances de dx, ce qui se fait très-facilement en prenant les différentielles successives divisées du polynôme a-\-bx -^- cx^ -h dx^ -\-ex^ , àx étant constante ; on trouve ainsi
ia -\-bx -^ cx^ -H dx^ -f-.ex4 -) ( ^ f- q c a: -f- 3dx^ -\- 4^0;^) dx) H- (c -\-3dx H- 6ex2)dx^ + {d -\- j^ex)àx'^ H- e.àx^y formule qu'on peut représenter ainsi , en faisant a -^ bx -{- cx^ -h dx^ -+• ex^
= ^^ (p^X -f- Ô.Xdx H- -à^XAx^ + §3.Xdx5 H- §4.;^.dx4î : je la mets sous la forme
V =z (p\oc -\- ^^àx -\- y. dx2 -\- làx^ -+- s. dx^j. On peut appliquer à présent nos règles de dérivation en faisant varier oc , C, etc.; et l'on aura, pour la différentielle n""** divisée et non divisée,
-d"/^ = D". cpa. dx", et d"/^ = D". (^a. dx" ; développant la première expression par le n.° 22 , on a pour le coefficient
dp dx''
' ^«./^ = p''(pa.g'« -f- p"-^(pa.D.ê'"-^ H- p«-2(pflî. p2^«-a
^ -}- p"-3(pa. p^. £""-5 + p«-4(pa. p4^'»-4 -} etc.;
on développera les quantités en Q par la règle du n.» 43 , puis on remettra au lieu de of , S", y ^ ^, s leurs valeurs : la série sera toujours terminée. Si l'on veut avoir la dérivée non divisée , on aura par le n.« 45 b«.?^ = D"(pa.C" + D«-i(pa.73. D. C"-* -f- D«-2(pa.n(«— i)p2.g'«-2
H- D^-^cp^^. 72(/2— i)(/z— 2)p5. ê"""^ + etc.: on aura soin , dans les développemens , de regarder e comme une dernière quantité dont la dérivée est zéro. /
DES DÉRIVATIONS. 3l5
366. Prenons un cas moins général ; soit , par exemple , V -^ {a -^ bx -^ cx^ -H dx^ + ex^f; <pec ici devient = ce'', et Ton a ô«./^ = r(/'— i)(r—Q).. .(r— 72 + !).«'•-«. g"»
-+-r(r— i)(r— q). . .(r—n-\- '2).cc^-''+^.n(n— i)Ç''-^y
+ r(r-i)(r-Q)..,(r-/ï + 4).ar-» + 3j-4--^^ —~^ ^^"-S.QyJl
'nr/2— i). .f/î — 5) „ r , ft
-^^ ^^^7"^^ ^ê'«-6.(2y5 + cî^)
. H- etc. -h etc.
La série se terminera toujours d'elle-même si n est entier positif.
567. Pour prendre un cas plus particulier encore et renfermé dans le précédent , soit /^= {a-\-hx-\- cx'^y\ on aura à développer (« H- C dx H- yAx'^)% (J et g étant zéro , et la formule du numéro précédent donnera
'à'*{a -\- bx -^ cx'^Y = ( nin — i) uy n(n— i)(n — 7)(n—3) cc^y"^
^ ' ^ 1 /zfAz— i)(« — 2) in — b) oêr'y^ ''
\^ Q.3(r/z+i)(r-/2 + Q)(r--«-|-3; ^^ ^ *'^^• où « = <z + 3a: + ca:2^ g» :=r 3 -f- 2 co: , y = c.
Cette formule a été donnée par Lagrange, Mémoires de Berlin pour 1772 , page 216. La formule plus générale du numéro précédent se calcule par nos procédés avec autant de facilité que celle-ci , et c'est un avantage de nos méthodes de dérivation.
C= — Qo:, y = - 1 ; partant ^ = — \^ , et
3l6 DUCALCUI*
o . . àz I p . dz y.^
Soit 2 = arc. sma; : on a ^- = —77 r- , et faisant t- = f^. on a
^ do: \/(i — xa:) dx '
^= (i—a:*) 2 j ce qui donne r=s: — -j, tf= 1 , ^=0, c = — 1 , «= 1— .ar%
av 1 -
- 1 ; partant -^ = -
d"/^ d" + *(arc. sinj;)
.dx" dx""+-*
/■ n(n— 1)1— x^ 77{n—i)(n—<i){n — 3)(i—x^Y- 13 5 7 fQ/î 1^ 3^" V 2/1-1 Q^ ~"2(ô7mT)(i7r33) 2^a:4
*'"^ ' ''(l-x2)«+n 72(yf-l)(y2-2) (/^-5) Çl - X^)"^
Sdz 1 - e . y^ dz
oit encore 2 = arc. tangx ; on a -j- = --, donc, faisant V z=i ^
= (1 +a:2)-i , on a r = — 1 , « = 1 , ^;z= o, c=:'i , a= 1 + a;^, Ç= 2a:,
y == I ; donc ^f = , et Ion aura
d«/^ d^+^farc. tangar)
da:" da:"-*-^
i, vi+a^* (/z-q)(/2-3) (1 +a;3)^ 1 — (ïl — 1 ) -|— ; — ; (;^3)(/z-4)(/2-5) (14-0:^3 1.2.3 2^a:6 dans rp le signe supérieur est pour n impair et l'inférieur pour n pair.
368. Mais rarement, en mettant a;-)- da: au lieu de x dans la quantité affectée du signe de fonction, le développement de cette quantité, ordonné suivant les puissances de da: , est terminé ; il va ordinairement à l'infini , de sorte que la fonction devient ♦
(P(a -h Ê'.dar -{- y. da;* -f- tdx^ -4- ê. da:4 -h etc. à l'infini) ; or cette expression , étant de la forme de celle du n.° 20 , se développe de la même manière, et on trouve sur-le-champ la différentielle de l'ordre quelconque n , en cherchant par les régies du §. III de l'article premier , le terme affecté de da:", terme qui sera toujours composé d'un nombre fini de parties.
369. Voici une observation que nous croyons ne pas devoir passer sous silence. 11 y a cette différence entre le signe B et le signe d que , placés l'un et l'autre devant la même expression, ~à n'affectera que les a:, et d que les
quantités
DES DÉRIVATIONS. Siy
quantités qui multiplient les x et qu'on regarde comme constantes dans le calcul différentiel : ainsi on a
-D^a^x^ = u^-^x^^ et ç'^a^x^ = a^x^-^.
Mais à l'égard du polynôme ce -\- Çx + ya:^ -f- Ix^ -f- etc. , je dis que l'on a
^"(a -^tx -f- ya:2 + Ix^ -h etc. ) = p«. (« + ^o: -{- 70:2 -4- ^x^ 4- etc.); et qu'ainsi on peut changer les dérivées relatives à a;, do: étant constante , en dérivées relatives à « , €" , y , etc.
En effet , on aura , en faisant varier x et divisant par d a; ,
§»(c»H-^a:-Hya:2-Hetc. + p«. a.a:« + p« + i.«.a:«-+-i + ç^ + s.cu.aj' + a-t-etc.) =
-h etc.
= p». a -f- D.p^.a.o: -H p^.p». «.ar^ -}- p3.p«. ^^.j:' f- etc.
= p".(» + D.a.x -H p2.«.a:2 -H p3.c^.a:3 | etc.),
ce qui est précisément le second membre de l'équation qu'il falloit démontrer.
On prouve de même que l'on a plus généralement ^«(pCa -H g'x-f- ya;2 + Ix'^ H- etc.) = p'.^pCa -\- ^x -^ yx^n-^o^S 4. etc.).
En effet , le premier membre devient en développant ^«J^«-f-D.(pa.a:H-p2.(p«.a;2-f-etc. H- p". (pa.a;" -t-p«+^(pa.a:« + » -j-etc.}
= p".(p« H- (n + i)p«^-».<p«.a; H p'+a.^p^.a-a -f- etc.
= P^'Cp» + D. p". (pa.ar H- p2.p«.(pa.x2 H- p3.p«. (p^^. a;3 | etc. = p''.((pa H- D.<pa. a: H- p2.(paî.x2 -+- ^'^.(poc.x^ H- etc.) = p«. (p(a H- ê'x + yar2 -j- (Ja:3 + gar4 -|- etc.). On a aussi p'».^''t^(« -f- S'a; 4- «ya;^ n- etc.) = p«.p«.(p(« + ^x 4- ya:^ -|- etc.).
370. Faisons à présent des applications des formules de l'article second aux différentielles divisées et non divisées. \
On demande d'abord à trouver immédiatement la différentielle divisée et celle non divisée de l'ordre quelconque n du produit xy ^ c'est-à-dire le développement de ^^i^xy') et celui de d''(a:^) , y étant une fonction de a? et da: étant variable aussi bien que ày.
Puisque da; est variable et^ fonction de ar, il faut regarder ar et j- chacun comme une fonction d'une , même quantité t dont d^ est invariable, et faisant
