LUI

3l8 DUCAliCUI.

V = xy et A^ = r ) on aura

àV à^V à^V .

. (^ + dF-^ + âl? -^ + ^"=-)(^ + "dT • ^ + -df • ^' + "^■)'

comparant avec le n.° 86, le théorème du n.° 87 donne sur-le-champ

MV = i^^xy) = ♦

xd'^y -H da:. d'i-ij- rf- d^o:. d«-2j^ 4- d^ a;, d" - ^j)^ + d4x. d«-4^ -f etc.

+ d«-4a:.d4j | d«-3a:.d3j -4- d«-2a:. d^j + d'^-'x.dy -f- jd"^'7« On aura, par le n.° 95 , pour la différentielle /2**"** non divisée ,

j ^ — a«-3x. d^ H d'-^x. d^j' -4- nd^-^a:. dj^ 4- d^x.y ^

ou les coëfficiens numériques en n sont ceux de la puissance du binôme

(irH-/)" développée.

Si da: est invariable, alors tout demeurant comme ci-dessus , on considère

X comme une fonction de t du premier degré , comme égal k a -{- bt\ le

p da; à'^x , . da? ,, ,

facteur x H — t — • r + t — • r^ + etc. devient x H — 7— • r , et i on a dans d^ at^ Q.Ù

ce cas

*J"(^JK) == xà'^y + dor. d«-ïj^, et d''(a:j^) = a;d"j^ -f- Tzda:. d^-^j^.

371. Nous avons fait voir, n.° g5, qu'on obtient le développement de la dérivée D".(^a), en développant (« -H «)" et en changeant les exposans en signes de dérivation , savoir en mettant D^a au lieu de a', D^^ au lieu de «^ TP.oi = oc ^ et D^é^ = <2 , -au lieu de a et ^ j et danss le n.** 96 nous avons étendu ces homologies entre les puissances et les dérivées à un nombre quelconque de facteurs. Ici nous allons présenter la chose sous un autre aspect, nous allons détacher des dérivées leur échelle de dérivation ; ces considérations auront l'avantage de se prêter plus facilement aux applications ; nous en offrirons différens résultats par la suite.

La dérivation totale que l'on obtient en faisant varier à la fois a et ce dans le produit act ou dans la fonction (p{a^ot) étant représentée à l'ordinaire par D, désignons par d»' la dérivation par rapport à. « seulement, et par d'» la

DESDÉRIVATIONS. Sl^

dérivation par rapport à a seulement ; \ échelle de dérivation sera

La même chose ayant lieu pour la difFérentiation du produit xy ou de la fonction (p ( a;,y ) ; c'est-à-dire, d désignant la différentiation totale, d'^ celle par rapport à y seulement , et d^» celle par rapport à x seulement j on aura Yéchelle de différentiation

et ce que nous dirons des différentielles s'appliquera aux dérivées. Pour avoir la différentielle de xy , il suffît de multiplier xy par d»* -4- d'». On a ainsi

di{xy) = (d'* -f- d'O. ov^ = à''^{xy) 4- à}>{xy) = xày -+- yàx. L'équation d= d»i + d'», ou l'échelle de différentiation, n'est, comme on voit , qu'une manière d'exprimer, que , pour différentier une expression à deux quantités , fonctions l'une et l'autre de la même variable , il faut différentier par parties, en faisant varier séparément chacune de ces quantités, l'autre demeurant constante , et que la somme de ces différentielles compose la différentielle totale.

Puisque la différentielle seconde provient de la première comme celle-ci est provenue de la fonction , il s'ensuit , que , pour avoir la différentielle seconde , il n'y a qu'à multiplier la différentielle première par d'^ H- d'' : on aura ainsi

d2 = (d'i -f- d«')(d'i -f- d^.) = (d.i -f- d'')2; et , en continuant , on aura en général ,

d" =: (d'^ -H di.)«.

Aussi est -il visible qu'en développant (d'* -f- d^»)" P^^ ^^ régie du binôme et multipliant a;y par ce développement, on aura pour àP{xy) la même expression que dans le numéro précédent.

372. Si l'on a le produit xyz , ou la fonction (p(a:, ^ , 2) , on sait que , pour en avoir la différentielle , il faut différentier par rapport à chacune des quantités z , ^ , X en particulier , et rassembler ces différentielles , ce qu'on exprime ainsi d = d»» -f- d'^ -H d»» , et l'on a d" = (d»' -h d»* 4- d»')», et

A" {xyz) = (d»ï -f- d'^ ■+- d»')» X xyz. On aura pareillement

à'^{xyzu) = (d"»» 4- d»» -+- d»^ 4- à^')" X xyzu , et ainsi de suite. On développe (d»» 4- d»» 4- d'')" et (d"»^ 4- d'>» -f- d»* 4- d'»)*»

320 ' DUCAIiCUIi

tout de même que {a -^ b -\- c)« et (« -f- ^ -h c -f- c?)« , par les règles du §. II de l'article premier, puis on multiplie xyz^ et xyzu par ces développemens respectifs.

On peut au reste démontrer cette proposition de la même' manière dont nous avons démontré celle du n.** 96.

SyS. Soit P^ = cpx.-i/jy y dx étant variable et^ fonction de x; il est aisé de voir qu'en considérant x comme fonction de t, dont la différentielle àù est invariable , on a par les n.°^ 97, 100 , 101 et 102 les trois formules suivantes:

4«^= àn((px.yijj) = I.

(par. ^"\|// + dcpx. d«^»\[>rj^ -f à^(px.d"-^-\l>y + etc. + ^'^^x.-^j;

ànV = àn{q)x,-^y) = IL

(px.à^'-^y + ^(pa:. d«-'(da:.\|^) + ^^cp^.d''-2(dx2.\|/j) + '^^(px.à''-'^{àx^^y)

+ etc. + ^^(px.àx^.-^j 'f

iyV = d«.((par.-4/jK) = ; III.

(pa:.^\Pj.d«-»(d7) + <P^-?'^vpJ-f|"""^(dj)=* + (par.^5\^a:.d''-3(dj)5

+ ô(pa:,'v)/a;d'»-i(dr) + 'à(px.~à-^y,à''~^(^àx.djy) + b(px.^2^^.d/i-3(d<c. dj^2)

+ ^^cpj?.'4<7.d''~H^^)^ + '^'^(px.^-^y.iy-'^{dix\ày)

+ ^3(pa:.\[;^.d«-3(da;)5 + (px.'h^ -^j. â.j'*

+ ^(par^^-'-vl/jK- dx. dj^"-i + etc. + ^^cpa^.^^-s-v}/^. da:2.dj«-2

+ etc.

+ ^''(pa:. \|/j'. djc".

Dans le développement ultérieur de II , àx doit être considérée comme une

première quantité; et dans celui de III, da: et ày doivent être considérées

' chacune comme une première quantité. Dans 'h(px et dans ^\|/JK > da: et ày

sont constantes et l'on divise par ces différentielles, ou l'on considère tant

da: que 6.y comme = 1, ^

374. Soit en général V = (p(ar, j), y étant fonction de x et da: n'étant pas constante; on aura par les n.*^^ 1 12 et 11 1 , d»» se rapportant ky et d'» à ar,

à-V = à"(p{x,y) = 4'«(p(ar,jK) + d''d.'»-»(p(a;, j) + d2.d,«-2(p(a',^) + etc. + d«»(p(a:,^), • et

DES DERIVATIONS.

et , pour la différentielle non divisée , .

d«/^ = d'cpCx, jk) =

d3,d.«-3(p(a:,^) -{- etc. -f- d«»(p(a:,7),

ce qu'on peut indiquer de cette manière :

à'^r = d''(p(x,jK) = (d'i + di.)" X(p(x,y); et l'on aura de même , ^ et 2 étant chacun fonction de x ,

d''<p(x,jK» 2) = (d-'i + d'i + d'.)" X <P(ar, J, 2;). Pareillement^ , z et j/ étant fonctions de a: , on aura d"(p{x,f^ Zyu) = (d'.»i -f- d'»i + d'i -H d^»)» X <p(x,j, 2, w); et ainsi de suite.

Le n.° ii5 donne encore cette formule :

d«<p(a:,jK) = -ï-d''(p(a:,jK).^'*-'da: + ^''b''(p(ar,j^).d«-2(dx.dj) 4- ^'♦$'=(|>(a:,j).d«-3(da:.d72)

■+- ^^'<P(a:,j).d.«-3(dar)5

■4- ô»»^'"~"'^(a:,/)da;.d7"-*

+ etc. -}-ô2.^.«-a<p(a;,^). dor^.dj»-»

H- etc

H- ^"'(pCarjj^do:», où àx et djj' doivent être considérées comme des premiers termes ; dans ^^^»«<:p(a:,j^), on considère dx et dy chacune comme constante , et l'on divise par dx'^djy', ou l'on considère simplement dx et djy chacune comme = 1.

SyS. Passons aux équations différentielles.

Si y est une fonction implicite de x, c'est-à-dire une fonction qui n'est déterminée que par une équation en a: et 7 ; représentons cette équation en général par ^(a:,j^) = o : alor^ , puisque y est fonction de a:, lorsque x devient x -+- Ax^j devient j^ -+- ô.j)/'. A or -f- ^-.jr,{^)'^ -+- ^^.y.{/Sx)^ -i- etc^ et l'équation <p^x,y) = o devient

322 DU C A li C U L

Ç{x -h AXyj -}- "à.jAx ■+- 'à^.j. (Ax)2 -+- ^^.j. (Aa;)3 + etc. } = o , ou bien

H- etc. = o ;

et, comme cette équation doit avoir lieu , quel que soit Ao:, il faut que chaque terme affecté d'une puissance différente de Ax soit zéro séparément; on aura donc, par le numéro précédent, en observant que dx est constante et àj variable , et développant ,

o = <P(x,j), X'^hl

et ainsi de suite. La^ k>i n'est pas difficile à saisir : mais elle se présente •encore mieux si on ne développe pas entièrement, et si, en mettant ^au lieu

de (p{xjy), on désigne par c)'»F la dérivée — i-i-JJLL, dx étant invariable,

et par ^♦^F' la dérivée — ^ ^'^ ' "a "> ^J étant variable et variant par

rapport à x dont y est fonction j alors les équations dérivées seront exprimées par les formules suivantes :

o = (P(ar,j) = F, .

o = ^.3. y | b',^,2. ^ ^ b^.îi.'.F -+- ^S'F, et l'on a généralement, pour l'équation dérivée de l'ordre «'^"* ,

G rzr ^'". F H- bi»^'«-i.F -H- b2,B.«-2,]^ ^ b3.ô.''-3. F 4- etc. -f-^^'F, ou bien , en détachant l'échelle de dérivation différentielle et prenant la dérivée

t)ES DÉRIVATIONS. 5a5

non divisée , on aura pour l'équation de l'ordre n ,

5j6. Il s'agit ordinairement d'avoir la valeur de rp^ : on y parviendra en

cherchant celles de -^ ^ -^ , -j^ , etc. , —. — ^ , tirées successivement des dx dx^ dx^ ' dx"-^

équations qui précèdent celle de l'ordre n , et substituant ces valeurs dans la dernière équation. Mais, en employant la formule (S?) du n.« 3q2, on n'a pas besoin de ces substitutions successives ; elle fournit immédiatement les

valeurs de ~~ , ^ , %^ , etc. , ^. Car on a par cette formule , dx dx^ dx^ ' dx" ^

dx ^'^(Pi^ijy) ' ' '

dx^ ^''<P{^ij) * ' [^''<P(^ij)? '

et ainsi de suite. Dans les seconds membres bx et ^y sont constantes l'une et l'autre et = i ; on aura soin, en développant, de considérer ^'^(p{x^j) et bi»(p(.T,j) comme des premiers termes, et d'écrire §'^(p(a;,jK) » ^'^^(^5^)j etc. , au lieu de ^'^^'>(p(x,j^) , ^'^^'^^(^yj) i etc. Comme la loi est manifeste,

d" Y il est aisé d'en conclure' la formule pour le terme général t-^.

Ces formules me paroissent dignes d'attention.

377. Si l'on a une équation différentielle dans laquelle on a considéré^ comme fonction de a: , et qu'on veuille au contraire y considérer x' comme fonction de^; alors, par le n.°34i , il faudra, dans l'équation différentielle proposée, changer

^''^ == d^' ^^-^ = d^' c^--^ = "d^» ®^^* ' respectivement en^^d-^,

— ^ r— d(-i-d^*^), - — î— — - j^d(-i^ d(-T^ d j-^)), etc. , où dy