Venons à présent au cas des différentielles partielles

Soit U une fonction de a:, y et z, que j'exprime par <p(a?, j^, z), et soit z lui - même une fonction de a; et de j^ , ac et j étant des quantités indépendantes, et do; et dy indépendantes et invariables : on demande le développement de ce que devient U=(p(œjj^ z) , lorsque ac et j deviennent X -\- dos et j -{- dy; ce développement devant être ordonné suivant les puissances et les produits de dx et de djy : et même on demande un terme quelconque de ce développement sans passer par les termes précédons.

On voit que tout se réduit à développer

1 1 dz . d^z -

x-H dx. y 4-dy, z -h-j—'dx -f- \ , -dx^ -H etc. V*^ -^ dx dx^

dz d^ z

^ j - + "j— • d y -i- ■T^-r- ' dx. dy -|- etc.

(p <r ajr ■ ^ dx. ay "^

d^2 { etc.

-f- etc.

En mettant Z7 au lieu de <p(a;, j^, ;z), il est aisé de voir, par les n."^ i36 et 37^, que le commencement de ce développement est

DES DERIVATIONS. 5zS

,, ,dU dz dU^, ] "dF'd^ ~^ dx.dz' di~^ dx^ . ,

1'^ dz^ '^dx^

du d^z d^U dz d^U

;^Mz djK^dy^-^^J ddf/ dzdz d^Z7 dz ^

dz* da: djy dx. dz djr

dU d^z d^U dz d^U

dz d^V 4r.d2; djK dj'^ r^ya 4. etc. dhÇ/ d. ^ (

"^ dza ^dy^ )

-h etc.

Mais, pour en mieux saisir la loi, nous ne développerons pas entièrement les termes et nous emploirons les notations des dérivations.

Désignant donc par 'd^'U que x seul varie de 1 dans (p(x,j,2); parb^'Z/ que c'est j^ seul qui varie, aussi de 1 ; par b»i.£7"que c'est z seul qui varie <le

- ^ ou ^.z , et par 'd'^y^.U que c'est encore z seul qui varie , mais de -v- ou b'.z : dx ^ ^ dy

le commencement du développement sera

V + (b'»». V-^'h^^Vy dx + (^"^ TJ -4- ôi.b.,'. TJ H- ^2,^7). dx"^

-I- etc. -H etc.

La loi se saisit facilement ; elle est telle qu'en détachant les échelles de dérivation on a généralement, pour le coefficient de da;'»dj^'', l'expression