ÏX1.2../Ï

Quant au développement des dérivées que l'on représente généralement par ^"^^'"^ £/, on le trouve par les solutions du problème proposé au n.° i3i.

326 DUCALCUIi

Si, tout demeurant comme ci-dessus, on a l'équation (p (or, j^, z) = o, alors, puisque àx et dy sont indépendantes , et que l'équation doit avoir lieu quelles que soient dx et dj, il est clair que les coëfficiens de chaque puissance et produit différent de d a; et de dj forment séparément une somme égale à zéro. On pourra ainsi trouver sur-le-champ le développement d'une équation aux différentielles partielles d'un ordre quelconque, tant par rapport à x que par rapport à y.

379. Voici encore un cas qui sert dans la théorie des équations aux différentielles partielles, et dont la solution est facilitée par nos méthodes.

Soit z une fonction de œ et de^, et qu'on introduise au lieu de a; et dej^ deux nouvelles variables u et t , en sorte que ce et j soient chacun fonction de ^ et de M ; trouver les formules différentielles par rapport à ces nouvelles variables.

Ce cas se trouve dans le tome III du Calcul intégral d'Eu le r, page 186.

Soient z, X , y représentés respectivement par (p{^ ^ y), "vK^j ^) > %(^» ")» on aura z == ^ j\K/^, u) ^ '^^{t, u)\ ; et z -i- Az étant ce que devient z, lorsqu'on met ^ -+- r au iieu de ^ et w + y au lieu de u^ r étant mis pour àù et v pour

Au ; on aura

\ z -h Az =z

•vK^, u) H- ^''\K^, w). r ■+- etc. J (%(^î i^) •+- ^''%(^> w). r -f- etc.

-f- ô'^\|y(/^, ï^). V ■+- etc. J. î J -H ^'•%(^, ï^). u -f- etc.

-f- etc. \ I ' -f- etc.

ou bien , en mettant x au lieu de -^{b^u^^ y au lieu de ;p(; (^, m ) , et $ et ô' au lieu de ô^» et de ^'* ,

X H- "h.x.r -t- \^' a:, r^ -+- etc. "] f j H- ^•J'* r 4- ^^.JK* r^ -f- etc. y

-H ^Kx.v H- B'.^.a:. ru ~\- etc. f j -f- 'b\y.\j -+- b'.B.j^.ri/ H- etc.i

H- ^'2. a». j^2 | etc. r j H- ^'^.j. xj^ -H etc. |

H- etc. 3 (, H- etc.

On voit donc que ce cas répond à celui du n.° 193. Il est aisé d'en donner différentes solutions, correspondantes à celles que nous avons données du problème du n.^ i8q. Si l'on veut avoir une solution semblable à celle du n.*' i83; en désignant par ^''. (p(x,j') que dans (P(^)JK) ^- seul varie par

DES DERIVATIONS. 327

rapport à^^, et par ô'^'. (P(>^,jk)» ^^^ ^ seul varie, mais par rapport à m;

par b;'.<p(a;,j^'), et ô'»i. <p(a;,^) que^ seul varie, dans le premier cas par

' rapport à t seulement, et dans le second cas, par rapport à u seulement;

on aura pour le coefficient du terme général du développement affecté de

^.'».§'.».(p(x,jK) -f-ô»'.^''""^^''". <P(a:,jK) -+- ^'''•^''"~^-?''''- <P(^îJ) + etc. + b'»'.§''».§'>«-».<p(a:,j)H- bi».ô'''.§»'"-i. ^'»«-i.(p(a:,j) + etc.

H- ^'■^'•§''"-$''"-^.<P(:k,j^) + etc.

H- etc -+- etc.

H- ^'"..b'«-2,.b'.2.(p(a:,jK) + >'.^'«-ï'. c>''i.(p(.T, j) -h §'"'•§'"'. <p (a: , j ). En détachant les échelles de dérivation différentielle, cette formule peut être représentée d'une manière bien simple , comme il suit :

La formule du n." ig5 donne une expression plus développée. Le commencement de la série pour z -h Az se trouve, soit par la formule que nous venons de donner, soit par celle du n.° ig5, en mettant z au lieu

de(p(j?,j),

« + Az

H- ^^^zSà.x

+ 'b^^z.\^,x -\- \^>z,{^.xy~

+ Ô'lZ.^2.^ -H ^.22.(b.j)2

H- ô''B'iz.b'.a:.^.j