La fonction (p(a-l-ar) développée en série est (n
1 -'^ ' 1.2 *" ' 1.Q.3 et il est visible qu'en allant de droite à gauche chaque terme se forme de celui qui le précède à droite (le terme affecté dea:"~^ de celui affecté de a;"), en multipliant ce dernier par l'indice qu'y porte d, en diminuant ensuite cet indice de l'unité et en divisant le terme par x. Suivons cette loi , pour continuer la série (1) en arriére, et nous aurons
— etc. -f- Q. 1 .o.D-3<pa. a:-3 — 1.0. T>-^(poi.x-^ -}- o. n-'^pa.x-* -+-
Di(pa r»2(7,^ ■d'^(J)cc r, jy^(Poer , •••(2)
DO^Da H — X H ^—- ' x^ -\ ^ • x^ H -^ a;4 -f- etc. ^ ''
Si l'on prend la fonction <p(« -h ê'o; -j- yx^ -h èx^ H- etc.), on aura
pareillement
— etc. -H Q . 1 . o.D-3. (pcc. x-"^ — 1 .o.D-2. (pu'X-'^ H- o.-D-^.(pcC'X-^ +.
D°. Ou H X H ^^^— • x^ H ^- x^ H ^ ar4 + etc.
.wl: ; 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4
De
De là on conclud généralement que dans '^-".(pccy où l'indice n est négatif, le c au - dessous du d n'indique plus un dénominateur , mais un multiplicateur, savoir rp (//— i){n — 2){n — 3) . . . . q . i . o , le signe — ou -f- ayant lieu suivant que n est pair ou impair , le premier facteur n — i étant toujours de l'unité moindre que l'indice w, et le dernier étant zéro , ce qui fait disparoitre tout le terme.
Puisque chaque terme de la série (2') ou (3), continuée en arrière, est multiplié par zéro , il s'ensuit que la série ne s'étend pas en arrière.
Il s'ensuit aussi de là que toutes les fois qu'on a une équation ou une expression où il y a des termes dont les uns ont des dérivées divisées à indices de d positifs et les autres des dérivées divisées à indices de d négatifs , ces derniers termes , ayant un facteur zéro , doivent être rejetés de l'expression. Voilà la véritable raison pour laquelle nous avons rejeté jusqu'ici les termes à indice de d négatif.
583. Une application immédiate de cette observation montrera la nécessité d'y avoir égard.
On a vu n.° 126 que l'on a généralement
— etc. zh — a''-^^p«.(a;2«) zp /V-^p". (a^) ±: ccr^".a.
Lorsque r devient ^ n , l'indice 72 — r du premier membre depent négatif et l'on a p"~^(ê''■«) = o, tandis que l'indice de d dans le second membre demeure positif; donc en écrivant la série à rebours, on trouve ce théorème:
o = oc'^^-a — roc'-^T^''.{oca) H '■ a'-^pn.^^a^) etc.
±L ^'^~^ cc'-^".{cc'-^a) zp r«p«.(a''-i/2) =t p«.(a''<z),
toutes les fois que r ^ n.
Ce théorème est une généralisation du lémme que Lexell a donné dans le tome XVI des nouveaux Commentaires de Pétersbourg , page 235 , et dont il s'est servi pour démontrer le théorème de Lagrange rapporté au n.° 282. La manière dont nous parvenons au théorème précédent a l'avantage de faire voir que la série n'est plus égale à zéro, lorsque r n'est pas ]> /z , et d'en donner la valeur pour ces cas, n.** 126. On tire de ce théorème, en divisant par cc'^ y
33o . DùcAi-ctri.
— etc. d= r^-('-0g«.(«'--iû5) qp «-'•^«.(aî'-^) , ot étant arbitraire , pourvu que r soit >► tz.
384. Si l'on a une équation dans chacun des termes de laquelle entre une dérivée divisée avec indice négatif , on peut imaginer que chaque terme a été divisé par le facteur zéro , et alors l'équation subsiste entre les termes qui la composent, sans qu'aucun disparoisse : ainsi on peut le plus souvent faire abstraction du facteur zéro.
Pour mieux connoître la nature des dérivées inverses , observons que , puisque 'D'^.A dérive de d.^, i^.A de tP.A ow. A\ en rétrogardant , ji.A =. jy-^.B'^.A sera la dérivée inverse de jy'^.A ; vP.A = d->.di.-^ où A sera la dérivée inverse de d.^ ; donc , en continuant , on aura t>-'^.A = ly-^.iy^.A pour la dérivée inverse de ^, t>-^.A , pour celle de D-^y^ , et ainsi de suite; v-^.A s'appelle aussi la dérivée inverse seconde de ^, et en général n-'^.A est la dérivée inverse n'^"* de A.
En passant aux différentielles , si (px est une fonction de a; , et dx supposée constante , pour plus de simplicité ; on aura , pour les différentielles directes de (px j les expressions
d(px = 'd(px.dx, d^(px = 'à^(px.dx^, d^(px = 'à^Cpx.dx^, etc., c'est - à - dire , que les différentielles sont égales aux dérivées multipliées par d X , do:*, d x^ , etc. respectivement ; mais les différenbieUes inverses ou les intégrales seront , en suivant la même loi , égales aux dérivées inverses , divisées par da:, da:^, dx^, etc. ; de sorte que/*, le signe de l'intégration, étant mis au lieu de d-^ , on aura
à'^(px =:^f(px = —^, d'^Cpx =f^^(px= ^J ,
d'^(px =p(px = -j^ 1 etc. , d-cpx z=fn(px = ^J .
Soit, par exemple, (px = x"^, dx étant constante, on aura d(a:'») = mx'^-^dx , d^{x'") = m{m-' i)x'"-^dx^ , etc.
d-^{x'") z=fx"' = — - , d-^{x"') = f^x"" z=.
(w + i)da; ' , ^ (wH-i)(w + Q)da:2
généralement, d-«(a:'") = y«a;'« =
{m + 1 )\^n + Q) . . . . (w ^-/^) dx"
DES DERIVATIONS. 35l
et l'on aura pour la différentielle inverse divisée de l'ordre n ( n.° précédent) , en faisant abstraction du facteur zéro ,
- , , 1 . Q . 3 . . . . . (n— Ox'" + "
'^ ^ ' {m+i){m + i) (772 + n).da:«
Puisque , pour indiquer la différentiation inverse ou l'intégration , on emploie communément au lieu de d-^ le signe y; nous proposons d'employer le signe ^pour indiquer la dérivation différentielle inverse^-* ; et de même que ~à(px indique qu'après avoir pris la différentielle de (par, il faut encore la diviser par àx , de même f(p x indique qu'après avoir pris l'intégrale de (px , il îslmX encore la multiplier par àx. Ainsi on a
*^ {771+ i)dx ^ '^ .m+i ^w + 1 ar"*"^'. âix /a:'" = = àxfx"^. fx^Ax = ^ = dxfx'^àx»
385. Voici à présent une formule qui donne la dérivée inverse générale non divisée, ou plutôt non multipliée, de l'ordre n; «ayant C pour dérivée, C ayant y pour dérivée divisée , etc.
Si dans la formule du n.° 45 on change 72 en — n , on a
D-«(pa.^-« — D-"-»<pa. WD.Ç-"^» H- D-«-*(paî. «(tï + 1 )p2. Ç-«-2
— D-«-3(pa. /z(/ï + i)(/z 4- 2)p3. ^-n-3 | etc. à l'infini.
Ainsi toutes les fois que la fonction (pcc est telle qu'on puisse en trouver les dérivées inverses D-"<pa, D-''-i<pa, T>-"-^<P(Xi etc. d'un ordre quelconque, T>cc étante 1 ; cette formule donnera la dérivée inverse d-". <Pf», d.«, p^a, çS.of, etc. étant C, y, ê, etc. On développera d.Ç-«-% ç^.g'-n-a^ etc. à l'ordinaire , en considérant C comme un premier terme.
On auroit aussi pu tirer cette formule (1) de celle du n.° qo, en faisant les multiplications qu'indiquent les c au-dessous des d , suivant le numéro précédent , et divisant ensuite tout par o . 1 . 2 . 3 . . . (« — 1 ) , ce qui supprimeroit le facteur zéro qui multiplie tous les termes.
Si n = 1 , on a pour la dérivée inverse du premier ordre
D-KÇcc == (q)
i>-^(Pa.g'-i — D-2(p^.i5.g»-2 |. D-3(pa. Qp2.^-3 — D-4(pa. 2. 3p3.f-4
-H D-5<pa. Q.3.4p4. g'-S — etc. = D-^(Pa.C-^ — D-2(p«.D.g'-2 j^ D-3(p^.D2.^-3 D-4(p£g. D3.g'-4
-h D-5(p^. d4. ^-5 — etc.
332 DUCALCUL
Les expressions ( i ) et ( q ) sont remarquables en ce qu'elles montrent bien la liaison entre les dérivées directes et les dérivées inverses. Appliquons - les à une intégration.
386. On propose de trouver Vintégrale f'^ {a -{- bx + cx^y à x'^ , dx étant constante.
Faisant ici, comme n,° 367 , où = a + l? x -j- c x^ , C = ^{a -^ bx + cx^) = b -i- ^cx , y z='^^[a ■+- bx -}- cx'^) = c; on a (poc == ce''; et puisque
jy"(p(x = .^ , on a , en changeant tï en — u , D-«vpa5 = d-«(pa.d«'' =
kx ce
J"(poC'àc6^ z=zf"(pc)Cf àoc étant constante; on a donc, par la formule (i),
+ etc.
Il faut compléter l'intégrale en y ajoutant C -+- Ci a; H- C^x^ H- etc. -f- Cn.jX"-», expression qui renferme les n constantes arbitraires C, Ci, Ca, etc. C*„i.
Il est aisé de voir qu'on a/«a'. = ^, ; — r- -. — ; — r- : donc
l'intégrale demandée est
n{n + 1 ) (« + ^or + cx'^^c r + n-\-i (^ + 2ca;)3
^ , , w(A2-hi). . .(«H-3) (a -{- bx + cx^Yc^
, r^^ — ^--^ 7 f-Tî N-< 2(r4-/z-+-iXr-+-«-h2) (^ + 2<:a:)4
l^r-t- A -t- ; i. -T- M -r- y I n(n-{-i).,..(n-h5) {a-hbx-^<x^yc^
