Si l'on demande l'intégrale

f'^(p(a- -\- bx -\-' cx^ H- dx^ + etc.)da:«, .

do; étant constante, et qu'on veuille ordonner la série suivant les puissances de X , voici une manière bien simple de trouver cette série au moyen de nos méthodes de dérivation. Puisaue

Puisque l'on a (n." qi) ,

(p{a H- bx H- ex? H- dx^ H- etc.) = (pa -4- T>.(pa,x -h B'^.(pa.x^ -h ^^.(pa.x'^ H- etc., il s'ensuit que f"(p{a -\- bx -^ cx^ -h dx"^ -h etc. ). dar" = (p^^dx» -h D.(p^/.y«a:da;'' -h B^.(pa.f'^x^dx'' H- p5.(p«.y*«a:3(Jj;n | etc. Or, dx étant constante, on a généralement

J ^ ^ (^,. -h i)(r-|- q) (rH-Az) '

donc , en complétant l'intégrale par n constantes arbitraires , on trouve

f''(p{a -\- bx ^r- ex- + dx^ -f- etc.)da:'' = .... .{3)

ce -+- C^x -h C^x^ -f- Czx^ -^ etc. -h C„ix«- « -j- ^

1 )— (ba -\ r r- D. (ta H — ■ TT r- p2.(p^ f

/ ^ ^ 1__ ^p3. (p<2 ^ etc. 1

formule dans laquelle D.(p<2 , p-.(p/2, d^. (p^^, etc. se développent à la manière ordinaire j et si l'une de ces quantités devient zéro , la série se termine.

388. Si dans la formule du n.° g5 on change n en — n, on aura ces deux

formules :

D-^.Çaoc) = .....(4)

aa-^.oc — «D.<7.D-«-i.a -+- n(n-\- i)Ti'^.a.ii-''-^.oc — «(«-f- i)(« -h Q)D3.«.D-"-3.a

-f- n(7i -\- i)(/2 4- Q)(^-h 3 )p4. ^. D-«-4. oc — etc. ,

an-".^ — TZD.a.D-"-^^ + /2(/2H- i)p2.^.i3-n-2^<2 — n(^n-^ i)(/2-f-2)p5.a.D-«-3.«

H- «(« -f- 1 )(«-f- 2)(/ï H- 3)D4.a;.D-«-4.« -1- etc» Ces formules se terminent dans les cas où l'une des dérivées de ^z ou de « et toutes les suivantes deviennent zéro; autrement elles vont l'une et l'autre à l'infini. ^

389. On peut tirer de ces formules différentes conséquences relatives aux intégrales.

Si l'on fait , par exemple , n = i, a = j , oc = àx , j étant fonction de X ; on aura par la formule ( 4 ) , en changeant les dérivées en différentielles , et ajoutant la constante arbitraire C,

fjydx = C -h jfdx — djy.f^dx 4- dy.f^dx — d3j./4dx 4- etc.,

354 DUCALCUL

et par la formule (5) on trouvera

fyàx = C + àxfy — à^x.fy -f- à^x.f^y — êi^x.f^y -h etc. Si dans la première de ces séries infinies on suppose àx constante , on a. fax == x,

r^dx = fx =1 — î — - ndx = — T-j — , etc. : ainsi la série devient

, ^ dy x^ d-y x^ d^y x4 fydx = C -h yx — -f- 1 ^-j-— -z Y-^-z \- etc : '

et si dans la seconde série on suppose djy constante ; puisque Jf = ^=~ ,

hy ■= — ^— ; — , etc. , la seconde série devient ^ -^ Q.3.dj2 ' *

-, „ da: y2 ^2^ y3 d'^x y4 d^x y^

fydx = C-H -T--^ j-t4- h Tir-% 5 — Ti "t" ^- etc.

^•^ dj 2 i.2.dj^ 3 i.Q.3.dj)^3 4 i.2.3.4.dj4 5

Ces deux séries pour^dx sont celles de Jean Bernoulli. Voyez ses œuvres

tomel.^'^, page i25, et tome 11.*^, page 488.

Soit a ■=. (px ^ 06 = dx" , dx constante , la formule ( 4 ) donne

y^cpa:. dx" =

(px/^dx" — nd(px.f''-^^dx'' H- n{n-+- i)d^(px.f''-^^dx'^

— /ï(«-|- i)(«-4-2)d3<pa:./« + 3d^» + etc.

Or, dx étant constante, on afdx^ = — -j = xda:"-' , f^dx*^ = fxdx^"^

j«2 x^. dx" ~ ^ = — dx''-^, etc. , et généralement y''dx" = 5 . Donc, complétant

l'intégrale par n constantes arbitraires , on trouve ^

/"(px. dx» = (6)

^(S + SiX H- (§2x2 -+- (53a;3 -4- etc. 4- Sn-iX»-» -H