cpx -— -^ H V^; -^ ^T^ + etc

Sgo. Si l'on a généralement r- çi^a -^ bx -\- cx2 H- <;?x5 4- etc. , «^ H- Cx -+- yx^ -H (Jx3 -f- etc.), on a (n.° 112, formule 4) pour le coefficient de>r«, d»* se rapportant koc seul, D'» à <2 seul, et D indiquant la dérivation totale,

4- etc. 4- p«-''.D'»(p(a,«) 4- p^'-cpC^f,»). en multipliant par 1.2. 3. .../?, on a, pour la dérivée non divisée ,

D«.(p(<2,«) = D««. (p(û,«) -4- nD^:li''^-K(p{a,Oc) -+• /2(/î— l)p'».D''»-*vP(^, «)

-H etc. -H 72p«-»'.D»i. (p(<2,«) 4- D«».(p(tf,a); et, en détachant l'éclielle de dérivation ,

A présent , si l'on change n en — « , ces deux dernières formules donnent , pour la dérivée inverse de l'ordre n ,

— 7ï(/zH- i)(/2 -+~ Q)p3.. D'-»-3. (p(«, flî) -{-etc. à l'infini; et encore , en détachant l'échelle de dérivation ,

D-«. (p(/z,«) = (D'^ -HD«'.)-« x<p(<z,a), (8)

et l'on peut commencer le développement de (D'^ -+-d»'.)-« par d''. ou par d^». Si l'on avoit une fonction de trois , de quatre , ou d'un plus grand nombre de polynômes , tous ordonnés par rapport aux puissances de or , on auroit pareillement

D-«.<^(«, «', ^",«'») = (D'"^ -HD»». + D'». -H D''.)-''X<p(«,a',rt",<ï"'), . .(10)

et ainsi de suite, on développera les échelles à trois termes, à quatre termes, etc. , comme , par les règles du §. II de l'article i.", on développe (^-f-^-f-c)-", {a -{- b -+■ c -h d)-'^ , etc. ; mais , en développant ainsi , on a des séries infinies.

391. Pour avoir des expressions finies, je remarque qu'en employant la division pour développer {a-+-B)-^ = ^, on peut arrêter le développement à tel terme qu'on voudra , et en ajoutant le reste que laisse la division , divisé lui-même par a -{- l? , on aura des expressions finies de («-|-^)-i, comme il suit :