IN
(a-i-b)-^ = -7 TT--*
\ b b^ b'^ , b''-^ b" rH 5- r-H etc.
a «2 tf3 a4 ' a^ ~^ {^a-^b)a' '
Mettant donc d, D''^ , d'», au lieu àe a -\- by a ^ b respectivement, on a et généralement
D-i=: D»-i D^'D»-^ H- d2;D'-2 — D^'D'-4 + etC. ZÇ. D'" ^'D'-'" zb D"» D'^'D'"''.
On a donc ' '
T>-K<p(a^cc) = (t)'^ -f- D''.)-» X(p{^,a) = D'-i.(p(^,a) — D-^Di'. D'-«.(p(<7,à); ou [en mettant s, S'% s'», (n." 36) au lieu de d-^, d»-^, d-*», après le développement de l'échelle, si l'on aime mieux avoir des indices positifs]
s.(p{ayoc) = S'^(p(^z,«) — s.-D^'.S'K(p{a^ oc); ....(ii)
ce qui est une généralisation dii théorème de l'intégration par parties , un des plus féconds du calcul intégral.
On a généralement ^^^-^t^y^^c^
-f- etc. zp D''-^'. D'-^^(âî, a) ±: D-^D'■'.D'-^<p(«,a) :
ou bien encore D-^(|?(a, a) = s.(p(^, a) = (i3)
S'KQ^{c^,^My —.J^}'^s^%3)(a,ct) -+- D^'.S'^.(r)^«,a) — d\s'4. (p(/^, «)
. /.,,^ .•!'-. -+- etc. zp D''-l'.S'^(p(«, a) ± s. D*"'. S'''. (p(^, a).
Quant aux dérivées inverses des ordres supérieurs au premier ; puisque
D-i = D»-i — D-'D^'D'-', en prenant derechef la dérivée inverse, on aura
et en prenant une puissance quelconque n , on a pour la dérivée inverse de
l'ordre n -"^^^^^ ^ d-« = (d'-^. — d-»d»'D'-i)«, i^'ffp (i|)
expression qu'on développe par la règle du binôme , et qui est toujours d un nombre fini de termes.
Puisque D-» est aussi = d»-* — d^'D'-^ -f- d-^d^.D'-^^ on a pareillement
et généralement
D-" = (D'-i D^'D'-^ 4- D^'D'-^ — etc. Zf. D''-i'D'-'' zlz D" ^ D'''D' -'■)".
Partant „ ^/ \ /, ex
(D'-^ — D''.D'-2. -l-D^'. D«-3. — etc. qZ D'^-^'. D'-'". z!z D " ^ D'''. D»" ''.)« X <p(/z, a) ,
expression finie. Ces théorèmes, dont on peut trouver un plus grand nombre par les mêmes principes, sont fort- utiles dans plusieurs rencontres.
Il n'est pas difficile de faire voir qu'il est indifférent d'écrire les signes d- » D, D-»', D^», D'-S D'* dans tel ordre qu'on voudra.
392. On peut faire différentes applications de ces formules; pour les appliquer aux différentielles , nous allons en déduire d'une manière simple les conditions d'intégrabilité des quantités différentielles d'un ordre quelconque.
Soit P^dx une quantité différentielle, ou f^dx = o une équation différentielle d'un ordre quelconque r, f^ étant une fonction de ^, jK> ^-/j ^^» etc. , Ti'^.y , et dx étant constante ; on demande les conditions auxquelles on reconnoit que P^dx est une différentielle exacte ; c'est-à-dire , que dans l'état où se trouve f^dx , elle est intégrable , sans qu'on ait besoin de supposer^ une fonction particulière de x , la relation entre jy' et x pouvant être quelconque.
Soit Z l'intégrale de P^dx, ou Z z=fVdx\ si nous désignons par d^», la différentiation par rapport à x seul, par d»^. la différentiation relative à^, "h. y , ^2^ ^ Ô3.J, ^ etc. par d et /" la différentiation et l'intégration totales ; on aura dZ = dfVdx =^ JdVdx^ ou, puisque d = d^» -f- d»», (di, + d'O^ =/(d^' + d.^/^da:, d^^Z -H d^^Z = fd^^Vdx H-/d.»Fdx. Or , la relation entre j^ et x étant quelconque , d^» et d»^ indiquent des opérations indépendantes; on a donc séparément
d^^Z =1 fd^^Vdx (1), et d'»^ =/d'»/^da:; (2) *^
et , en divisant par d x , ces équations deviennent
^^^.Z=zf^u.V (3), et î).^^ = /.?)>» /^. (4)
Cela posé , puisque Z z= fVdx ^ si T^dx est de l'ordre r, il est clair que Z ne sera plus que de l'ordre r — 1 ; ou , en d'autres termes , si Vdx renferme ô^J^ , Z ne pourra point renfermer de dérivée 'à.y^ 'b'^.y , etc. supérieure à ^'"^y, quelle que soit d'ailleurs la manière dont ces dérivées entrent dans Z, Ainsi b./^et 'b.Z seront de cette forme :
^j^ dV dV^ dV ^ dF ^ dr ^
^•^=^-^d7^-->^ + dV^^-^"^'''-"^dF^^-^-^d^^^^^-^' -W
^ r^ dZ dZ ^ dZ ^ dZ ^
^•^ = d7 + d^^-y + d^^'--^ "^ ^'^- ^ dô^^ ^''^^ (^)
expressions que nous représentons par
ô.^ = M -h N'd.y M- O^^.y -4- P^^.y -+- etc. -h Nr-i'à'.j -^ Nr^+Ky , . . (7)
h.Z = «W H- ^'d.jy -h CÔ2.J -I- ^Ô3.j^ -H etc. -h mr-i'à'.j. . < . .(8)
On a donc d'abord b>»./^=rikr, ^^'.Z = ^; donc pour satisfaire à l'équation
(3) , il faut que l'on ait /.M = ^. Or cela a toujours lieu , si dx est constante ;
358 DtTCAIiCUt.
csLT'b.Z étant= F, <yïia.'d^».'b.Z='d^>.F, ou'd.'bh.Ê! ==^u»F, donc 3. 3)1== M, donc M est la dérivée totale de SOî ; donc ^ = f.M.
De plus , pour que l'équation (4) soit satisfaite , il faut qu'on ait , en mettant Z-^ au lieu de/, ^-».(iV^.j + Cd^.y -+- Pb'^.y -h etc. -h iVr-i^^j -I- Nr'à^-^Kjr)
= 9lb.j -t- O'h^.y -t- ^.bS.j H- etc. + 0l,»^^j. *"V9)
Mais ^ étant une dérivation totale , je puis la partager en deux autres , l'une ^l' qui ne se rapporte qu'aux iV, O, jP, etc. , Nr-iy Nr, tout variant cependarrt dans ces quantités , c'est - à - dire , tant oc que y et "à. y , 'à'^.y , ^^.y , etc. ; l'autre b'^, qui n'affecte que les ^y, ^^«JK» ^^-JK^ ^t*^* qu'on voit dans (g). Ainsi j'aurai b-*. = (b'^ H- b''. )-^ On ne confondra pas b'^ et ^^». ci- dessus avec b'i. et b^'. Ici le partage de la dérivation totale ô est différent et les , sont placées plus haut.
Il faut donc, en écrivant à rebours les séries de (9), que l'expression (^'1. 4 ^1'.)- 1 x{Nr'b'+^y -f- Nib'-^jy + etc. + Fb'^.y H- Ob^y^N^.y) ..(10) étant développée soit égale à
^r-i'à'.y H- etc. + ^'h\y + O'b'^.y -h ^'à.y (11 )
Il n'y a plus qu'à développer (^'i. -|-Bi'.)-i , qui devient ♦ ô'-i. ôi'.b'-» -f- ^<î>'-3. — î>3'.î>'-4 -h î>4\b'-5. -I- etc., ...(iQ) et à effectuer la multiplication indiquée dans (jo), en observant que b'-i.B^y = Ô'"-^j^; puis à comparer le résultat avec (11).
Soit , par exemple , r = 4 , il faut qu'on ait le développement de
(€>'». -h ^^'0-'X(iîî>5.j^ ^ q^k,j | p^'h^y ^ o^^y -f- iVôj^) ...(i3) égala £L^4.j -h ^B3.j | ^^2.^ l gf^^.^ (i^j
En multipliant (12) par Kà^y ^- Qp'^.y 4- etc. -f- ]S~d,y , on a sur-le-champ ,
Kh^.y — ô./l.c>3.j |- 'à^.R.'b^.y — ô3./î.^.j^ >f- M./î.^ — 'b^.R.'à-\y -f- etc.
H- (l.'à'^.y — 'b.Q^.^^.y -h Ba.Q.b.j — ô^.Q.j 4- M.Q.^- i.j^ — etc.
(i5).. -f- ■''^^•^ H- ^.Ab.^ 4- Ô2./>.j^ __ ^./>.^-i.^ f etc.
-+- O^.y — 'à.O.y -\-'d^.OJb-^.y — etc. -I- N.y -h ô.iV.ô-i.j^ -I- etc.
Comparant présentement à (1 4) , on voit qu'il faut que les colonnes affectées de y, ^-i.y, etc. soient zéro, ce qui a lieu si l'on a
> : f iVT — d.O -H Ô2.P — Ô3.Q -\- Kiî = o ; r 16)
car les coefficiens des colonnes suivantes de (i5) ne sont autre chose que les
DES D13AXVATIONS. 33§^
dérivées successives des coëfficiens dej^. L'équation (16) est donc la condition d'intégrabilité cherchée. Dans (16) les b marquent des dérivations totales, qu'on exécute en faisant tout varier et divisant par dx.
SgS. On peut aussi développer ^-'. = (b^\ +^'^)~* en commençant par ^»*., ce qui donne
ô-i. = ô-»\ — ô'^d-»'. 4- ô'2.b-3». __ î>'3.î>-4'. -h ô'4.î>-5'. — etc., et exécuter la multiplication en laissant les termes des séries (g) dan^ l'ordre où ils se trouvent.
Soit, par exemple, /•= 4 ; en mettant^ au lieu de B-*, on trouve ainsi
/.iV-V
^Ky -\-p.N
v.y-fm
