AQ
— etc.
+ fR
-4- etc.
iov «O
Comparant avec ^.y -H ^,'b'^.y -i- ^^,y H- U^^.j; on voit que, pour que Vax soit intégrable d'elle-même, il faut qu'on ait
/.iî — /^.Q -f- /3.P - /4.0 + /5.iV = o.
Ainsi , puisque 91 , £) , ^ , £1 , sont des dérivées différentielles qu'on à obtenues par la différentiation dp Z , on a le théorème que donne Euler dans le tome III de son Calcul intégral, page 523, savoir : Si Vax est intégrable d'elle r niéme , *la quantité Nàx sera aussi intégrable d'elle-même; et faisant O — /Nàx = 0 , tàx sera intégrable ; faisant P — faàx = p , )pd.x sera intégrable , faisant Q — ypda;=q, f\&x sera intégrable ; et faisant R — fy^cs s=: r ,/vdx sera zéro , si l'on fait abstraction des constantes arbitraires.
394. Si àx est aussi variable dans Vdx, on pourra considérer x et y comme fonctions d'une autre variable. Soit, par exemple, Vdx de l'ordre 4 » tant par rapport à x que par rapport à ^, oa aura
540 D U C A Ij p U I»
dx do.o; do^.o; do^.x dd4.a;
d/^^ d/^ ^ dV ^„ d/^ ^, d/^ ^,
^ 47 '-^ "^ dv^'--^ ^ dô^^ -^ -^-m^^'-y + d^v ^ ••^'
je représente cette expression par
( rih.x -\- ob'^.x H- pb^.x -\- qh^.x H- rà^.x ^•^ "^ j-f- iVî>.j + Ob^y -+- Pc)3^ -H Q^4.jy. H- il^5.^ ; «t, 2 étant l'intégrale de T^dx , b.Z sera de la forme ( vià.x -H 0^2.0; + ^jib^.x -\- <\b^.x
donc , pour satisfaire aux équations ( 3 ) et ( 4 ) , il faut qu'on ait '' ' " (b'i. + di'.)-*(rB5..x + ^M.a; 4-/7^3.0; + 0^2.^ ^ nd.x) .
= q^4.a; + ^p'b'^.x + o^^.^ ^ ^d.o; , ^i' se rapportant à r , ^, y» , o , «^ et b'i à ^.x , ^2.^ ^ ^3.jj ^ etc. ; ensuite il faut qu'on ait encore , comme ci - dessus ,
(ô'i. 4 -di\)-i{Kà5,j -f- QM.j -H />B3^ -f. Oî>2^ + ^^jy)
ce qui , en développant comme ci-dessus et comparant les développemens aux seconds membres , donne les deux équations de condition :
]Sr ^^.O -^ c>2.P Î>3.Q + c)4.il = 0. On voit en général , qu'il y a autant de ces équations de condition que dans i^ il y a de variables avec leurs dérivées différentielles.
SgS. Le principal avantage qu'offre cette manière d'employer l'échelle de dérivation, consiste en ce qu'elle fait trouver sur-le-champ les conditions pour qu'une quantité soit une différentielle exacte d'un ordre* quelconque k.
Soit £/" l'intégrale de l'ordre k de l^dx^, que je suppose être une différentielle exacte dij même ordre k , de sorte que U = f^T^.dx^ '<, on a.Mva.'à.U =. 'b.f^.T^ =zf^.~b,Vj donc (b^'. -f- ^.».)t/=:/^.(^'». -f- d'i.)^; et puisque b^» et ô»^ [qui ont ici la même signification qu'au commencement du n.** 3 92], indiquent des (Opérations indépendantes , il faut qu'on ait séparément
ô',.Z7=/^î>^'./^, .....(17), etB.».î/=/*.îi'»./^ (18).
L'équation (1 7) a lieu d'elle-même si àx est constante j faisant donc ô=b'i.+Bj',
comme
DES DÉRIVATIONS. 34l
comme vers la fin du n.° 3cjQ ( où il ne faut pas confondre b'i et ô^' avec ô»» et b'» qui ont les, placées plus bas), il faut que Cd'K -h ôi'.)-*x(iVrC>'-H-^j + etc. + P^^.j -h OB2.J + N'd.y)
= ^r-i,^"Kjr -+- etc. -h 5pb3.j^ H- ^'è^.y + ^'à.y; •••(19)
car c)^jK étant la plus haute dérivée dej^ dans l^, U ne pourra être que de l'ordre r — A , et sa plus haute dérivée de y sera par conséquent b*"- ^.jr. Or on a sur-le-champ
î>'-*. Abi'.d'-*-'. +
^^lô<B'-it-2. A.A + 1.^ + 2 y>,y-.-..
etc.
Il n'y a donc plus qu'à effectuer la multiplication dans (19) et à comparer le produit au second membre.
Soit , par exemple , r = 4 et A = 3 , il faut qu'on ait {R'd^.j -+- Q'à^.j + P'd\j -+- O'd^.y -f- ]V'd.y)x
(îi'-3. __ 3^^'.^'-4, 4- 6c>2'.d'-5. — ioî>3'.î>'-6. ^ etc.)
y -— lob^.i^
-hP
ô-^^KH-etc
— etc
— ioî>3p
H-etc
— etc
— 3b.iV
+ etc
Effectuant la multiplication dansOle premier membre, on a sur-le-champ iîÔ2.y — 3î>.illb.y4-6î)2.iî y ^ lob^.i^ â-'.jKH- 15B4./Î
lobS.Q — 3c).0
Comparant à 0^2.^ j gi^^, on trouve que les trois conditions, pour que f^dx^ soit une différentielle exacte du 3.® ordre, sont
p 3B.Q + 6?|2.iî = o, ...(i)
O — 3Î>.P -h 6b2.Q lo^^.R = o , . . .(11) N — 3'd.O 4- 6î>2./> — lobS.Q -h ]5K/l = o. ...(m)
Les coëfÊciens de ô~^.jKî ^~'^-y 1 etc. contiennent les mêmes quantités que celui de ^~^.^, et égalés à zéro, ils n'expriment aucune condition qui ne soit une conséquence de (i) , (11) et (m) ; ainsi le coefficient de ^'^-j, par exemple, est égal à — 3ô.(iii) — 3B2.(ii) — ^\(i).
596. L'usage des échelles de dérivation s'étend au calcul des variations ; leur utilité se fait surtout sentir dans les cas compliqués de ce calcul. Obligé de me resserrer dans des bornes convenables, je supprime les applications que j'avois faites à ce sujet.
Brrr
342 DU CÀIiCUI.
397. Si dans la formule que nous avons trouvée pour p«-'".(^'<i) dans le n.*' 126, on change n en — n, elle devient
dr «'■p-«.« q: ra'"-»p-«.(«^) dz "" ■ ^-".(a'^a) zf. etc.
les signes supérieurs sont pour r pair , les inférieurs pour r impair ; ici chaque terme étant affecté d'une dérivée divisée à indice négatif, on peut considérer chaque terme comme divisé par le facteur zéro , et ainsi aucun des termes ne disparoît, comme il en a disparu au n.° 383.
Cette formule présente le moyen tle rappeler l'intégrale /''-*-* j^d:c'"+* aune expression finie d'intégrales du premier ordre , y étant une fonction quelconque de ce y et dcr constante.
En effet, il suffit de faire « =j^d£c, cc=Xy S'= àx, /z = 1 , p-". = p-'. =y"» Ç B-r =±1.2.3... r,/'"^^y le signe -}- répondant à r pair et le signe — à r impair; la formule (1) donne aussitôt
/'+yàx'+^ =f^+^(dx':jrdx) = (2)
x^jyàx — rx''-^/œydx H '■ x^-'^fx^jdx — etc.
iq3.,./'j t» v 1
-\- — x'^fx^-^ydx — rxfx^-^yàx H- fx^yàx
expression qui s'accorde avec ce que trouve Euler dans le second volume de son Calcul intégral, page 368.
Cette formule demeure la même si à.x est variable et x , aussi bien que y , fonction d'une quantité quelconque ù : dans ce cas on a coutume d'écrire J'dxjjdx j fdx/àx/jàx, etc., au lieu de/2yda;2,y3j^dx3, etc., et notre formule ( q ) s'accorde encore avec ce que trouve Euler , par une voie moins facile, dans le recueil de mémoires qui forme le 4»^ volume ou le supplément de son Calcul intégral , Pétersbourg 1794. Voyez de formutis integralibus implicatis earumque evolutione eu transformatione , pages 544 et suivantes.
La formule (1) donne même encore
.♦ Kx^f^ydx"^ — rx^-^f'^xydx'^ H x'^^'^J'^x'^ydx^
7ï(/z-+- 1 )...(« -i-r- 0 ) gj(j^ ^ Cl£lia,2y«^r-2^dx«- r<jcj^x''^ydx^ -^f^xydx'^
DES DERIVATIONS. 343
398. On aura toujours des formules pour les dérivées inverses de l'ordre n , en prenant la formule de la dérivée directe de l'ordre quelconque « , et en y changeant n en — n. Par ce moyen et celui des échelles de dérivation on parvient aisément aux théorèmes généraux des dérivées inverses et à ceux du calcul intégral.
En appliquant ce procédé aux formules de l'article troisième, on en tireroit des théorèmes pour les dérivées inverses doubles , triples , etc. , pour les intégrales doubles , triples , etc. , et les intégrales des^ quantités aux différentielles partielles. Cette matière raériteroit bien d'être traitée à cause de son importance et de ses difficultés, mais nous ne pourrions nous y arrêter d'une manière utile , sans entrer dans des détails que le plan de cet ouvrage ne sauroit comporter.
(III
599. On trouve dans les Mémoires de Berlin pour 1772 (*) des théorèmes qui expriment la relation entre les différences d'un ordrç^ quelconque et les différentielles , et entre les sommes et les intégrales : ils sont remarquables par leur simplicité et dus à Lagrange , qui les a exposés sans démonstration ; il a même ajouté, qu'il seroit peut-être difficile d'en donner une démonstration directe et analytique. Laplace les a démontrés depuis dans divers mémoires (**). Comme ces théorèmes tiennent aux dérivations, nous allons aussi en donner, une démonstration qui nous paroît directe et facile. Voici les théorèmes :
Soit u une fonction'^uelconque de vT , ^ = Ao; l'accroissement de a; , et Am l'accroissement de u qui répond à ^; on aura pour la différence de Tordre quelconque / 1 \i -
I ISf^u = (e — 1 ) ,
où e est le nombre dont le logarithme naturel est l'unité. Après avoir déve-
loppé le second membre de cette équation suivant les puissances de -5 — «^j
il faudra appliquer les exposans de dw à la caractéristique d , pour indiquer des différentielles de même ordre que les puissances, c'est-à-dire changer àu^ en à^u.
(*) Dans le mémoire sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation el à V intégration des quantités variables , pages ig4 et igS.
(**) Mémoires présentés , etc., tome VII, pages 534 *t S"»'^- Mémo-''es de l'Académie des sciences de Paris, année 1777» pages i03 et suivantes, et année 1779, pages 346 et suivantes.
