CALCUL

De plus, en changeant /en — /, et désignant par £ la somme qui répond à la différence marquée par A , ce qui donne A-* == 2, A-^ = sS 1 équation , précédente subsistera toujours et deviendra

II A-^u = "E^u = l e , — 1 ) .

pourvu qu'après avoir dévelopé le second membre de cette équation, on change encore {duy en d^u et (du)-'' en,d-"''M omJ^u,

4oo. Démonstration, i .° On a par le théorème de Taylor , u étant une

fonction quelconque de x ,

du ^ 1 d^u y 1 d^u 5,- , .

Au = 1 -^—i H j— 7^^ H TT :t-tP •+- etc (i)

dx^ 1.2 dx^^ 1,2.3 dx^^ \^

Je mets à la place de i , , r- , etc. C, v , (^ , etc. , et 'd.u au lieu de

-5 — , afin que l'équation ( i ) se présente sous cette forme :

Au = C'à,u.^ -+- «yB2.z/.|2 | Jc)3.i/.p H- £B4.i^.|4 -f- etc. (q)

Maintenant , puisque u est une fonction quelconque , on pourra mettre Au au lieu de w , et l'on aura

AAu = g'b.Aw-l -+- yd^,Au,^^ + (^î>3.Aw.|5 -| gî)4.Aw.^4 h- etc (3)

Mettant dans le second membre , au lieu de Au , sa valeur (q) , on trouve

A^u = C^'à^.u.^^ -h tyà\u.^^ -+- ^J^4.z/.^4 -j- g^b5.w.|5 -}- etc.

-f- «y^c)3.w.^3 f yyM.M.^4 -I- y^~à^.u.^^ -+- etc.

+ ^g"c>4.w.^4 + <^yô5.w.^5 f etc.

+ g^ô5.w.|5 j etc.

-f- etc. ,

où les coëfficiens ^"2 , C'y + 7Ç, Ç^ -\- yy-h èl^i etc. sont égaux respectivement à ^S D.(C.C) = D.g"^ ^^.{Q.Ç) = p2.Ç2^ p3.(Ç.^) = ç3.CS etc., C étant regardé comme un premier terme. Ainsi la série sera

A^u= C'^'à^.u.^^ -h D.C'^.^^.u.^ -h ^^.C^.'à^.u.^^ H- ç3.g'2.^5.2/.|5 | etc. ; ...(4) ou , ce qui est la même chose ,

A^u = {Cd.u.^ + y'à^.u.^2 -+- S'd^.u.p -+■ gKî/.^4 + etc.)^ , • • -(5)

pourvu qu'après le développement on change (b.w)^ en d^.w, (du)"^ en "à^.u^ (ôw)4 en 'd^.u , et généralement (ô.m)*" en ô^.w.

2.° A présent , dans l'équation (4) je mets partout ùsxi à la place de m , et j'ai t^u=l^^'h\lSM.l^ + d.^2.^3.Am.^ +p2.g'2.M.AM.|4 H-p3.g>2.ô5.Ai^.|5 4 etc.; ..(6) substituant dans le second membre au lieu de tSu sa valeur ( 2 ) , on trouve

-I- yD.ê'2

^p3.Ca

ô5.z/.|5 4 ê'p^.C^ ^6.i^.|6 | etc.

-h etc.

-h etc.

H- etc.

4- etc. , où les coëfficiens de 'b^.u.j^'^ ^ M.?^, |:4, etc. sont évidemment égaux à Ç3 ^ i3.(g".ê'^)=:D.ê'3, p2. (C^^^) = p2.^3, p3.(&C2) =:p3.^3, etc. , de soFte qu'ou a ù^u = C^^\u.p -h D.ê'3.M.w.|4 4- p2.g'3.^5.i^.^5 4 p3.^3.î)6.^^.^6. 4. etc. , . .(7) ou , ce qui revient au même ,

A3z/ = (C^.u.^ ■+- yb2.w.|a 4 ^^l.u.^Z | g^4.w.|4 -j- etc.)3, si après le développement on change (b.uy en ^^M.

3.° En général , il est aisé de voir que , quel que soit l'ordre de la différence , le développement de à}u aura cette forme :

{Siuz=BbKu.^i-^-C^i-^Ku.^i-^^-irDh^+^.u.^i+^-^Ebi+'^.u.^^+^-\-ex.c. ..(8)

Pour passer à la différence de l'ordre suivant , je mets Az/ à la place de u ,

et en mettant tout de suite la valeur (q) de t^u au lieu de u dans le second

A^+iw

membre, je trouve .

-\-yC -h SB