CE

yD

se

■ eB

b^+4.î^.|' + 4 + etC.

H- etc.

-H etc.

H- etc.

H- etc. ;

et il est visible que cette série se réduit à

^i-\-^uz=QBbi+Ku.^i+^-hT>\QB).'b^+^.u.^i-^^-^^\{CB):ài+\u.^i+^

-f- p3.(g'^).B^ + 4.w.|^ + 4 -h etc.

Or cette série est égale à celle qu'on obtient en multipliant

BV.u.^^ l Cd^+i.ï^.^/+i. + DÎ>^ + 2.ï^.|^+2 4- £ô^+3.„.|i+3 { etc.

par la série

^ô.w.| 4- yb^.w.^î 4- <Jd3.w.|5 4 g^4.w.|4 4- etc.,

346 DUCALCUL

pourvu qu'on change après la multiplication ^.u.^^.u en ô^+'.w, 'd\u.'b^.u en 'd^+^.u, et en général 'à':u.'d^.u en ô'"+*.w. Donc , si l'on a le développement en p d'une différence quelccmcjue A'w ; pour avoir la différence suivante , il suffit de multiplier ce développement par C^.u.^ H- yà^.u.^^ -f- ^b^.w.^s | etc., en changeant dans le produit b^«.b*.w en 'b^ + \u. 4.** Or on a eu ci -dessus

Ahi = {Cà.u.^ -h yc>\w.|2 f- ^'à\u.^^ + gM.z^.f4 + etc. p ; donc on aura de cette manière , pour la différence suivante ,

A% = {Q^.u.^ + y'bKu.l^' -h <^Ô3.M.|3 j etC.)^, donc aussi , pour la différence suivante ,

A5^ = (C^.w.| H- 7^2. ï^.^ 3 H- (Jc>3.w.|3 4 etc.)5, et ainsi de suite. Donc on a généralement , / étant un nombre entier positif quelconque ,

Alu = (^d.w.| -i- y^2.w.|» + S'à^U'P -i- etc. y, ....(10)

ou bien , en remettant les valeurs de 6", y, «J, etc. ,

A^u=:(i'à.u.p-{-—'à^.u.p^-{ ^'d'^.u.p-h — ^d.4.w.£4-|-etc.y, . .(11)

à condition qu'on change (^.ï^. )'' en ^^^^, en appliquant les exposans de ^.u à la caractéristique ^.

5." A présent il est aisé de voir qu'on a aussi, sous la même condition,

^,u.p -h —-à^.u.p^-^ J.^3.i,.^3^ L^ — b4.z/.^4 4-etc. = e^-"-|— I,

e étant le nombre dont le logarithme naturel est l'unité ; car on sait qu'on a

e^ = 1 H- 1 1' H- ■ i^^ H r- 1^^ H : — i^^ + etc.

Donc enfin A^u = {e ' '^ — 1)',

en changeant après le développement {'à.uY en 'à''.u.