Venons à la démonstration du second théorème

1.** Commençons par le cas où n de positif qu'il est dans le premier théorème devient = — 1 ; car c'est dans ce passage que se trouve la principale difficulté.

Je mets 'Zu au lieu de u dans la formule (2) ; A'Eu étant == w , la formule devient

u = C^.'Zu.^ -+- y'à^.'Zu.^^ H- ê'à^.'Eu.^ -f- etc. ; (12)

de là je tire, en divisant par C^, intégrant par /, et transposant.

^u = r-'/.«.|-* — ^-'7^.S^^.| — ê'-^<^()^.S«.|=^ — etc. .7T.(i3) Je prends successivement les dérivées 'à. , ^2, ^ etc. de cette équation , afin d'avoir les valeurs en ^ de ^.2'^, 0)2.5;?/, ^3.^^^ etc., que je substituerai ensuite dans (i3) même ; mais sans effectuer ces substitutions, il est visible que par leur moyen le second membre de (i3) prendra la forme de celui de l'équation suivante

Sw = ab-'.w.|-* -f- h'b^.u -{- ib.ii,^ -f- \)b\u.^^ H- etc (14)

L'équation (i3) donne aussi

^-'.w.|-i = l^-Zu -h 7^.S".| -h ^^2.2:w.|2 ^ £^3.2;/|3 | etc. , d'où l'on tire , en multipliant par a , b|^ , c^2 ^ \^^ ^ etc. , et prenant les dérivées b. , ^2. j ^3. j etc. , a^-^w.f-■ = a^s^^ -+- ayb.sw-l H- û^B2.2z/.|2 f. fl£B3.2M.|3 { etc. , b^o.ï^ = bCô.2«^.| -h b7d2.s«.|2 + b<Jô3.2w.|3 j« etc. ,

/c^.w.| = ' C^^2.2«.|2 i cy^3.2f/.|3 | etc. ,

b^2.ï^.|2 ::== l« t^b3.2w.|3 | etc. ,

etc. etc.

Si l'on ajoute ensemble toutes ces équations ; la série qui formera le premier membre de leur somme étant égale k ^u, en vertu de l'équation (14), et ^ pouvant être quelconque , on aura pour déterminer a , b , c , b , etc. , les équations aC = 1 , ay -H bg* = o , û^"* -{- by 4- cg" = o , ag -h b<y H- cy H- tiÇ=z o , etc. Or a et ê" étant des premiers termes, ces équations sont ôg'=z 1 , D.(aê')=D. 1, p2.(ûg'):^ ç2,i ^ p3.(aë') = p^.i , etc. La première aë" = 1 , qui est l'origine des dérivations , donne ai^ë"-^, d'où l'on tire b=D.S'"S c=p'.^'"S ^^P^'^^S et en général an = D".ë'-^ Donc la somme précédente devient

-I- etc. H- p« + ^^-».^''.z/.|'» + etc. * *^

Si cette conclusion ne paroissoit pas évidente à tout le monde , j'observerois ,

qu'en supposant

— — j ' j— — - — = (kv-^ + b H- cç' -f- bi'S H- etc. ,.

Lv + yv^ -\-ôv^ + s v'^ + etc. - ^

et multipliant de part et d'autre par le dénominateur , on aura , pour déterminer a, b, c, b, etc., précisément les mêmes équations 0^"= 1, ay+bg'rro, â<î'+ by + tl^=o , etc. que ci-dessus. Or il est évident qu'ici le premier membre (Cf + yv=* + (F^'^ + s^^ + etc.)-», 4êveloppé, est égalàC-^t'-' +d.ê'-' H-p^.^-i.t^

348 DtrcALCuii

«4- etc. H- p«+ 1. g'- » t^" -H etc. Donc il est évident que la valeur du coefficient de d'.w.^" dans (i5) est aussi égale à p^ + ^ê"""'.

Il n'est pas moins clair qu^l'équation ( i5) peut aussi se mettre sous la forme

^u = {ëà.71.^ -+- yb^iu^^ -h ê'à\u.^^ ■+- etc.)-S ( i6 )

pourvu qu'après le développement on change (à.uy en ^^.u , et (B.w)-'' en f'''U. Donc, par la fin du numéro précédent , on a, sous la même condition , en remettant les valeurs de C, y, S, etc.,

a." On peut présentement passer de la valeur de 2w à la valeur de s'« , d'une manière semblable à celle par laquelle nous avons passé ci- dessus de la série de Au à celle de A' m.

En effet, mettant S^ au lieu de u dans ( 14) , on a

j:^u = aà-K'Eu.^-^ + h^u + cd.vi^.| + tià^zu^^ + etc., et, substituant au lieu de nu le second membre de (14), il est visible que cette équation prendra la forme

S^w = a''à-Ku.^-^ -\- b'd->.w.|-». + d'd^.u ■+- t)'d.ï^.| H- etc.; ..(17) raisonnant de même sur cette équation (17), puisque 2% = 2*z«, on voit que s^w sera de la forme

Z^u = a"c)-3.w.|-3 + b"^-2.w.|-» + c"d-^w.|-i ^ b"ôo.z/. -H etc. En continuant ainsi, on voit sans peine qu'en général -l^u est de la forme

J,IUZ= ^'à-i.U.^-^ -h «ôd-^+'.M.|-^+» + (5b-^ + 2.«.|-/ + 3

H- etc. + ^l'do.u -h SÏ/+id.M.| H- ^i+^à^.u.^^ -f- etc. "^ - 3.° Pour avoir 2^ + » w , je mets dans le premier membre de (18) sw à la place de w , et dans le second au lieu de u la valeur (14) de i,u, ce qui donne

'b-i.u.^-^ -F 2ÏC H- 85b

d-^ + i.w.|-^+i -H etc.

-f- etc.