etc
H- etc. , série qui , en regardant 31 et a comme des premiers termes , se réduit à
H- etc. -+- p'.(2ïaj.c)o.î^ -h p^+i.(aia).^.w.| H- etc.; "•^^9) et il est facile de voir que cette série est égale à celle qu'on obtient en multipliant le Q.^ membre de (18; par celui de (14) ou par celui de (i5), qui a été démontré égal à ce dernier. Ainsi il est démontré que, pour passer de la valeur
en
en ^ de i}u à celle de l^+*w, il suffit de multiplier celle-là par {J^'b.u.^ -\yà\u.^^ -\-' S'à^M.^^ 4- gb4.«.^4 -1- etc.)- S pourvu qu'après le développement on change ^-^.u.^-''.u en ^-'-''.u et ^-'.ud/.u on ^-'+''.u ^ etc.
4.° De là il s'ensuit que pour passer de sw à s^w , à cause de 2z/ = (6'ô.w.^ H- yb^.u.^^ -\- S'd^.u.^ + etc.)-^, on aura , en multipliant comme on vient de le dire ,
X=*w = (C^.u.^ -H yd\u.^^ -{- S'd^.u.p -+- etc.)-2, et en passant de même de "L^u à s% , on aura
2% = {C'à.u.^ 4- yà^.u.^'2 H- ^^\u.p 4- etc.)-^, et généralement
s'w = (ê'B.w.f -h yb\u.^^ -H ^'d^.u.p -h etc.)-', (qo)
pourvu qu'on ait soin après les développemens de changer (^.uY en b^w et (d.i/)-'' en d-^M ou /^w.
5.° Cette démonstration a lieu , quelles que soient les valeurs de g', «y , J,
etc. Dans le cas particulier où C, 7, S, etc. sont 1 , , r- , etc.; on
peut mettre e * '^ — 1 au lieu de ^^.u.^ -+- y^^.u.^^ H- ^'^.u.^'^ 4- etc. ; donc
dans ce cas on a ■>. y \ /
en changeant après le développement {'à.uy Qii'à^.u et Cb.u)-^ en /*■. z/. Ainsi
le seconde théorème est aussi démontré.
402. Nos méthodes de dérivation donnent des moyens faciles de développer les formules des théorèmes précédens, et même de calculer immédiatement un terme quelconque des développemens.
En effet, parles formules (10) et (20), le coefficient de 'à^+''.u.^^ + '' dans le développement de A^u est représenté par p^CS et celui de d-' + ''.^-' + '' dans le développement de 'l^u l'est par d^.€~^- On développera donc p'^.^' et ç^ê""' à la manière ordinaire, C étant un premier terme; puis on substituera
à la place de 6", «y, J, s, etc. leurs valeurs 1 , , t- , — , etc.
On peut même abréger ces développemens au moyen du procédé du n.° 84.
403. Les démonstrations précédentes, quoiqu'un peu longues, meparoissent être à l'abri de toute objection et ne laisser aucun nuage j elles démontrent les théorèmes tels que Lag range les a énoncés.
35o lîucÀiiCui.
Maïs on peut simplifier et les démonstrations et les énoncés de ces propositions, en les débarrassant de la condition du changement de (b.ï/)'" en b^i* après les développemens. Pour cela il faut faire en sorte que les exposans affectent b et non 'à.u , et que demeurant toujours attachés à b dans les développemens , ils puissent toujours être considérés comme des indices. On y parvient en détachant l'échelle de la fonction , comme nous l'avons pratiqué dans ce qui précède. Cette séparation de l'échelle met plus de netteté dans les expressions , plus de facilité dans les calculs et fait en outre arriver facilement à des théorèmes bien plus étendus , comme nous allons le voir.
404. Si l'on fait (px = u et àx =■ ^ •, on a par le théorème de Taylor
u -^r- t^u = u -\- fb.u H P^'à^.u -{ -P'à^u •+- etc. ,
et , en détachant de u les échelles ,
ii+à)xu = {i +|B. + -i-|2^2. + i|3^3. +etc.)XM,
ou bien encore (n.° 400, 5^ )
En retranchant u de chaque membre de la première équation , ou ce qui revient au même, en retranchant 1 de chaque échelle de (A), on a
Au = {J^' ^ i)xu. (B)
A présent, voici comment on parvient très -simplement aux théorèmes du n.° 39g. 1.** u étant une fonction quelconque , je mets Au à la place de m , et j'ai
àAuz={^ '— l)XA^^=(e^ * — 1 )(e*^ ' — i)Xu , ou. A'^u={e^ ' — i^Xu. Je mets encore Au à la place de u , et j'ai
A^Au = (e^ * — iYAu = {e^ * — i)2(e^ ' — i)Xu^ ou A^w = (e^ ' — i)^Xu, et ainsi de suite. Donc on a généralement
A^u = {^^' -lYxu; (C)
il n'y a rien à changer après le développement.
2..° Puisqu'on vient de voir que, pour passer de Au à A* + »<^, il faut
multiplier l'échelle de (e^ ' — ly^xu par e^ ' — 1 ; il s'ensuit que pour revenir
de l^'^^u à A^«, il faut diviser l'échelle de (/ '-if'^^Xu par / '-i ;
partant , pour revenir de A*w à A* " ^ j^ , il faut diviser l'échelle de (e^ —0 ^ "
par (e^ * —1/, ce qui donne A*"^w =(e^ * —if^^xu. Donc, en faisant
/£ = o,ona A-^u = z^u = (e^ ' -^ i)-^Xu. (D)
405. Les formules (C) et (D) ne sont que des cas particuliers du théorème qui va suivre.
Dans (i 4-A)Xw = e^ ' X wleséchelles i + A et e*' ' indiquent des opérations à faire sur u , qui sont différentes , mais dont les résultats doivent être égaux : il est clair qu'en faisant sur chacune de ces échelles une même opération, chaque échelle sera modifiée de la même manière , et qu'appliquées à u elles donneront encore des résultats égaux. Désignant donc par F une fonction ou
opération quelconque , algébrique ou transcendante ; puisque i H- A = e^ * ,
P'd on aura F(i + A) = Fe*> ', partant le théorème suivant,
F{i-h/S)Xu = Fe^^'Xu, ' (E)
où F n'affecte que les échelles.
406. A présent, si l'on suppose que F désigne qu'il faut diminuer l'échelle de l'unité , puis prendre la puissance /ou — / , la formule (E) donne les deux théorèmes (C) et (D) j et l'on voit par là que / peut même être fractionnaire et irrationnel.
Si F désigne qu'il faut prendre le logarithme naturel , puis encore la puissance 72 ou — w de ce logarithme , la formule (E) donne
|«ô«.M = {log(i +A)|«XM, (F)
|-«/«.z^ = {log(H-A)j-''xw. .....(G)
Ces formules expriment les différentielles et les intégrales en différences et en sommes.
407. U faut avoir soin de ne pas confondre les cas où le signe de fonction F affecte uniquement l'échelle avec ceux où il enveloppe toute la quantité j c'està-dire que les expressions F(i -h A)Xi^ et Fe^ 'xw ne sont nullement synonymes des expressions F{(i -j-A)x?^î etFje^ 'Xw}.
Pour le faire voir par des exemples : soit, i.°, F le logarithme naturel ; on aura , F n'affectant que l'échelle , loge*' ' xu = ^^. Xu = ^^.u, ce qui est la différentielle première de u, tandis que, F affectant toute la quantité, on a
logle*» "x^i == log(ï^ -H ^^.u -h l^^^.ï^ + |^§^-^ + 6tc.)
= logw -t- ^ô.logw H- |-^2.log2^ ^ ^3ô3.1ogw -i- etc.
352 DUCAIiCUL
Soit, 2.**, F la puissances; on aura 5 e^ ']'^xu = e ^ ' Xu^(p(x-fm^, tandis que [e^ ' Xu]'" = {^(^-h|)|'".
4o8. Observons à l'égard des cas ordinaires où F enveloppe toute la quantité ,
que , puisque l'on a , u étant = (px ,
V^u -i- ^u) = F(m -+- ^'d.u -h ^^'à^.u + |3^3.2^ | etc.)
z=Fu -h i^.Fu + ^'^^^.Fu -H ^^^\Fu -^ etc.,
il en résulte que y^ tTs
F{e^'^X(px] = e^'^xF(px; ....(H)
cest-à-dire, qu'il est indifférent dans quel ordre on exécute sur (px les opéra-
lions désignées par F et e^ . ,
En «lettant i -h A à la place de e ^ , on a aussi
F{(i '^-^)x(px} = e^ xF(px = (i 4-A)><F(pa:. (I)
Ici on ne peut pas prendre une fonction quelconque f de l'échelle e^ ou 1 H- A, comme au n." 4o5. Pour le faire voir par un exemple simple; supposons qu'on mette A au lieu de i H- A et que (px soit x et F(px =. x'^^ alors (I) deviendroit {/Sx)^ = Ax^ , ce qui n a pas lieu , car /Sx^ est =r qxAx H- (Aa:)^. Cependant, comme ^ est une quantité quelconque, on peut dans (H)
mettre m^ au lieu de ^ , m étant aussi quelconque; alors &^ étant = i -f- A,
onae ^ =zr(i-f- A)"^, et l'on trouve
F{(i -^^Yx(px] == e ^ xF(px = (i -hà)"'xF(px (K)
409. Les théorèmes précédens peuvent être étendus aux fonctions de plusieurs variables indépendantes.
Soit u = (p(x,j), /Sx = ^ et Aj z= V les accroissemens de a: et de j^ indépendans; Au désignant l'accroissement total de u lorsque x et y varient à la fois , désignons par A''W et A'^u les accroissemens de u pris en faisant varier X séparément et jy séparément ; on a , comme on sait ,
(p{x -H ^yj -\- v) = i^ -h ^^^'.u H ^^'àKu H- etc.
-h" v^'^'t^ H Qi^u^^'.^'^^.ï^ -f- etc.
H 1^2^,2,;^ j etc.
H- etc. ;
et
DES ©Privations. 355
et il est évident que cette formule peut s'exprimer par les échelles, de la manière suivante ,
(l-j-A) X M= { i-\-{^'bh.-{-xj'b>\)-\ — ^(|d'..-f-u^''.)^H— ^(|^^'.-Hy^»^)5-Hetc.} X u.
Mais dans le calcul des difTérences on a u-{-Au = u -\- /S}'U -l- A'*w -\- A*'A'*m. En efïet, en supposant d'abord que x seul prenne son accroissement dans
^(^>jk)j oii a ^(-^ + ^>JK) = ^('^îJK) H~'^''^("^jJK)) 6t, en supposant ensuite
que y prenne aussi son accroissement , on trouve
= ^{^tj) + A'^(p{oc^y) -f- ù^^y(p{Xyy) -H A''A'»<p(a;,j^).
Donc, en détachant les échelles, on a
(H-A)X2^ =(i H- Al' -I- A'i-f-A»»A»»)xz/ = (i -|-A»0(i -{-A'»)xw.
En égalant à présent les deux valeurs de ( i + A)m, on trouve
(i + A>0(i +A'Oxw = c^^''*"^''^'''xw. (L)
Il est visible que, u étant = (p{fX)yy,t) j on a pareillement
(H.A..XH-A.')(i+A..')x« = e^^''"^''^''"^''^"'"x«. ...(M) Le théorème général (E) devient donc pour ce cas
F{( I + A»0(i -+- A'^)(i -h A»0} X w = Fe^^''' "^ ''^''* -Hr^"^ ^ ^^ ^ ^i^^ Puisque^, u, T sont quelconques, on peut mettre m^, /zy, rr au lieu de ^, u, Tî et le théorème (K) se généralise comme il suit :
F{[(i -+-A'0'"(i +A.i)''(n-A''0']X<?>(^»JK)OÎ = (O)
De ces théorèmes (N) et (O) on peut tirer non - seulement tous ceux que Lagrange a donnés dans son mémoire cité au n.° Sgg, mais encore beaucoup d'autres. Nous nous bornerons ici aux suivans, qui concernent les différentielles.
410. Soit u fonction de x et de jy^ seulement (car on pourra facilement étendre les résultats au cas de u fonction de x^y et t). A"* et t(^»». disparoltront des échelles de la formule (N) : supposons en premier lieu que F désigne dans (N) qu'il faut ôter 1 de l'échelle, puis prendre la puissance quelconque zh / du reste ; on aura , A étant = A'» -+- A*' -+- A»»A'» j
(A'' + A''-HA"A-)-'x«=2'« = (e^^''-^^^''--.)-'x«. ...(Q)
De ces formules découlent les suivantes. Puisque ^ et y sont indépendant ,
354 ' DUCAIiCUIi
on peut faire zëro chacun séparément; alors A^» disparpit avec ^ et A»» avec v} et l'on aura, en mettant 771 et n au lieu de /,
donc, en multipliant ces échelles entre elles, on a
A A w = (e^ — i).(e i)xï/, .....(R)
2 '2:' w = (e'' — 1) .(e — t) xw. (S)
Ces formules expriment les différences et les sommes en différentielles et en intégrales ; cherchons les formules inverses qui expriment les différentielles et les intégrales en différences et en sommes de quantités à deux variables. A cet effet, u étant (p{pC"iy) et r zéro, on supposera que dans (N), F indique qu'il faut prendre le logarithme naturel , puis la puissance quelconque rt / de ce logarithme , et la formule ( N ) donnera
(|î>i,. -f-i;c>.'.)±^xï^ = îlog(i -H A*') + log(i H-A'Oi-'x^^-
= {log(i+A)}±'xi^. ......(T)
Donc, puisqu'on peut faire ^ et u zéro séparément, et que A*> disparoît avec ^ et A'^ avec u , on a aussi
|±/n^±m,. __ Jlog(l H- A'')!-'"» ^t U-"^'-". = jl0g(l -f-A'Oi-".
Partant , en multipliant ces échelles entre elles , on a
|- "u -«/'"'. /'".w = {log(i -f-A'')!"'"-llogCi -+-A'OS""X^- • • • -.(V)
411. Cette manière d'employer les échelles de dérivation fait connoitre avec beaucoup de simplicité les lois des premiers développemens. Pour achever les développemens des échelles, il faut recourir aux méthodes de dérivation des trois premiers articles; et ces méthodes donneront avec facilité nonseulement les termes successifs de ces développemens , mais même un terme quelconque indépendamment des autres.
Un seul exemple suffira. On a trouvé ^^'dKu = {log(i -f- A)Pxz^; j'aurai donc, par un premier développement de l'échelle {log(i +A)j'>
ilog(iH-A)î' = A^(i — iA + jA^ — 7A^ H- etc.y. Je représente la série par
(« -f- ê*A -H yA^ H- Ja^ H- «A^ -\- etc. y; on en fera le développement réduit , comme n.° 3 1 ; puis on y remettra au lieu de a, Cj y, etc. leurs valisurs 1 , — 7, -H j, etc.
