ARTICLE SEPTIÈME

Applications du calcul des dérivations à d autres branches de la

théorie des suites,

412. Nous réunissons dans cet article différentes applications du calcul des dérivations , non dans la vue de traiter les matières à fond , mais dans celle d'indiquer des sujets d'application de nos méthodes et d'offrir des exemples de la manière de les employer. Les suites (*) que nous avons considérées jusqu'à présent sont ordonnées suivant les puissances d'une lettre pu les dimensions de plusieurs ; ici nous considérerons aussi des suites qui procèdent suivant d'autres lois.

Des suites qui procèdent suivant les cosinus ou suivant les sinus des multiples dun même angle.

41 3. Les suites de cette forme sont d'un usage fréquent en Astronomie. Nos méthodes de dérivation apportent à la manière de les traiter plus de facilité et de perfection.

Problème. Convertir^ la fonction quelconque ^

<PÎa H- ê'cos.r -f- y(cos^)2 -+- J(cosa;)3 + etc.} (i)

en une série qui procède suivant les cosinus des angles multiples de x , savoir : A H- Bq.o2>x h- Ccosqo? -f- DcohZx -f- etc. (q)

Je fais d'abord un premier développement de la série ( i ) en une série ordonnée suivant les puissances de coso;; ce développement est (n.°Qi)

(pa -H D.(pa. coso? -h p^.Ç)^. ^^os^)^ H- pS.cp^. (cosa?)^ f etc. -..(3) Je substitue à présent à la place de cosx sa valeur en exponentielles imaginaires, qui est, comme on sait, coso: =-^(e*\/-* -f- e-*\/-»), e étant le

(*) 11 me paroît qu'il y auroit de l'avantage à mettre une différence entre les termes série et suite , qu'on emploie indistinctement. On pourroit appeler suite tout assemblage de termes fait suivant des lois quelconques, et série, l'espèce de suites dont les termes assemblés par les signes -+- ou — sont ordonnés suivant les puissances d'une lettre ou suivant les puissances et les produits de plusieurs lettres. De cette manière le mot suite seroit générique, et comprendroit non-seulement les séries, mais les produits continus de facteurs qui suivent des lois données , les fractions continues, etc. , etc.

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nombre dont le logarithme naturel est l'unité ; et , pour faire cette substitution avec plus de facilité , je fais q-^ e^sZ-^ = ^r et q-» <r-*v/-> = m , de sorte que cos:r z= t -\- u; substituant donc dans (3), il est aisé de voir, par la règle

du binôme et parce que d.d. = ap^. ^ u.pa. = 3p3. ^ p2.p2, =il p4. ; etc., que la série sera

Çcc -h Tt.(poc.t -\--g^.(pee.t^ -\- ^\(poc.t^ -H p4. (^ «. M -+- etc.

•+• ly.cpce.u 4- D.iy.Çoi.tu -\-Ti.^'^.(poc.t'^ii 4- D.p^. (pAt.^^^^ -}- etc.

-{- :g^,(poc.u^ 4- p2.D.(pa.^w2 4- p2.p2.^Qj.^2;^2| etc.

\^)'*"* 4- p3.(p«.M3 4- p3.D.(pa.^w5 4- etc.