etc

Mais D.p^'.^p» = p2.D.<pa , D.p3.(pa = pS.D.^a, etc. ; de plus on a, comme on sait, cosrjt; = Q-i(e'"*v/-i 4- e-'^*v'-i), de sorte qu'il faut ordonner la série (4) suivant les quantités e^V-» 4- e-*v/i, e^^v/-* 4- e-2*\/-ï, e^^V-^ 4e-3*v/-i j etc. , ou, ce qui revient au même, suivant

1 = tu = ^2^2 ::=; £3ii5 ;:=: ^4?/4 = etC. ,

^ 4- w = Z2j^ } ^^^2 =~i:3u2 -j- ^2^3 = ^4i^3 ^ t^u^ = etc. , ^a 4- i^2 :::= f;^i^ ^ ^j^3 =: ^4i^2 | ^22^4 = ^^^^3 ^ ^Z^S = etC. ,

etc. etc. ;

remettant ensuite à la place de ^ et de w leurs valeurs , on trouvera , pour la série cherchée ,

(pja 4- ê'cos^ 4- 'y(cosa?)2 j J^(cosa;)5 4- etc.} == ....(5)

Çûc 4- D.D.(pa.Q-a -1- p2.p2.^cg.2-4 4- p3.p3.(pa.Q-6 j p4.p4.<p«.Q-8 -4- etc. 4-(D.<p«-l-D.p2.<p:i{.Q-2|p2.p3.(p£g.Q-44-p3.p4.(pa.Q-^4-p^.p5.<Pa.Q'^4-etc.). cosx 4-' (p^.cpoî. Q-» 4- D.p3.(p^. Q-3 4- p2.p4.(pcg.2-5 4- p3.p5.(pa5. Q-7 4- etc.). COSQo: H- (p^.(p«. Q-2 4- D.p4.(p£^. Q-4 4- p2.p5.<p^. Q-6 4-p3.p6.(p^. q-8 | etc.).cos3ar 4- (p^.^pa. Q-^ 4- D.p5.<p«. Q-5 4- p2.p6.(pa. 2-7 4- p5.p7.(pa. Q-9 4- etc.).C0S4a; où la loi est bien facile à saisir.

Pour exécuter les dérivations indiquées dans (5), ou pour développer

p^p'.Cpa en général , il n'y a rien de plus simple à faire que de développer

Y'^''Çcc par les règles des §§. U et lU de l'article premier, puis de multiplier

* tout

DES DERIVATIONS. 357

tout le développement par r, ^ ^ , ou -i^-î — ^^ ^ L î 2 ;

car ^r,^s,(p^ =, T . qT3.....J P^'^'*^'*' ^^ ■ , . , . 3 \,

(>y+iXy+2) (-y+r)

41 4* Problème. Convertir la fonction

(P\cc -h ê'sinx -h «y(sina;)2 ^ J(sina;)3 + etc.} ....(6)

en une suite de cette forme :

yi -h ^sino; -h CcosQo; -t- DsinSx -H £00540; H- etc (7)

La solution est pareille à celle du problème précédent. J'ai d*abord , en donnant un premier développement à ( 6 ) ,

(pcc -f- D.(pcc'Smx -h- p2.(pa.(sina;)2 -j- i^'^. (pcc. {sîn x)'^ H- etc. ...(8) Mais, puisque l'on a sina; = {<2\/ — i)-^.\e*\/-^ — e-*v/-»} , on fera (Qy^— i)-' eV-» == ^, et (— qv^— 1)-» e-*s/-» =z/, afin d'avoir sin:c = ^-f-w; substituant cette valeur de sin^ dans (8) , développant et ordonnant de même qu'au numéro précédent , on aura pour (8) la même formule (4) que ci-dessus. Rangeant donc et assemblant les termes de (4) de même que précédemment, puis remettant au lieu de ^ et z^ leurs valeurs , et observant que (qv^ — i)-^ je^v'-i — e-'^V-i} = sinro;, et Q-i.{e*V-i -{- e-^^V-^] = cosjo;, on trouve

<PS« 4- Csino; -f- y(sin^)2 h- S{sinx)^ -h etc.} == ... .(9)

Çcc -H D.D <pa.2-a -f- p2.p2.^Qj.2-4 j ç3.p3.^^.2-6 ] p4.p4.0a;.Q-8 ^ gtc.

-4- (D(paH- D.p2.(pa. Q-2 }-p2.p3.(p^. g-4 }-p3.p4.(p«. Q-6| p4.p5.ç,Qj. Q-8|.etc.). sinar

— (p2.,pa.Q-^ -H D.p5.tpa.2-3 -1- p2.p4.(pa;.s-5 } p3.p5.(p^.Q-7 >4 etc.).C0S2a:

— (p^.^a.2-2 4- D-p^.(p«.2-4 + p2.p5.(p^.Q-6 -1- p3.p6.^^.(2-8 } etc.).sin3ar -Hfp4.(Pa.2-^ -h D.p5.(pa.<2-5 |- p2.p6.(pj^.2-7 | pSpy.^p^.Q-g ^- etc.).C0S4x -+- (p5.<pa. Q-4 } D.p6.(pa. Q-6 | pa.py.^p^. q-8 j p3.p8.ç,^. g-10 4 etc.). sin 5a:

— (p6.(p«. 2-5 4- etc.). cosôa: — (p7.<p«. 2-^ -4- etc.). sin 7X -+- etc. H- etc.,

suite qui ne diffère de la précédente ( 5 ) , qu'en ce que les lignes successives sont affectées ici de 1 , sinx, — cos2x, — sin 3a:, -+- cos4a:, H- sin3ar,

358 DucAiiCuii

— cos Sx , — sin 7a: , + etc. , tandis que dans la suite ( 5 ) elles le sont de ijCosor, cos 2a;, cos 3a:, 00540;, cos 5a;, cos 6a;, côsyo;, etc. On développera p^p^-cpa de même qu'au numéro précédent.

410. Exemple. Des formules (5) et (9) on peut tirer plusieurs conséquences utiles. Ainsi si l'on y fait égal à l'unité d'abord le coefficient y, ensuite <J, ensuite g , etc. , et qu'on fasse chaque fois tous les autres coëfficiens égaux à zéro , et (poc = ce, ^£i formule ( 5 ) donne sur-le-champ les formules connues : (cosa;)2 = Q.Q-2 | Q-icos2a;, (cosa;)3 = 3.Q-2cosa; + Q-^cosSa;, (cosxyt = Q.3.Q-4 H- 4.Q-5cosQa; + Q-5cos4a;, (cosa;)5 = Q.5.Q-4cosa; + 5.Q-'icos3a; -f- 2-4cos5a;, et en général , n étant un nombre entier positif quelconque , on aura

(COSa;)a" = Q-2n.p'».p''.a -\- Q-^n + i. jp«-i.pn+i.^.C0S2a; + p«-2.pn+2.f^.C0S4x

-H p'ï-s.pn + s.a. cos6a; + etc. -+- p2n.a.cos2/za:} ,

(cosa;)2''+* =Q-s«.{p«.p«.+ i.i^.cosa;+p"-^p" + 2.«.cos3a;4-p"~^.p"+^.«.cos5a:

-h- p" - 5. p'^ 4. a. cos 7a; -4- etc. -f-p2« + ï.a. cos(2/2+i)a;} ; pourvu qu'on fasse partout p^".» = 1 dans l'avant -dernière, et p=^''+^a = 1 dans la dernière de ces formules.

La formule (9) donnera, de la même manière, (sina;)2 = 2.2-2 — 2-^cos2a;, (sina;)3 = 3.2-2sina; — 2-*sin3a;, (sina;y4 = 2.6.2-4 — 4.2-5cos2a; -+- !?-3coS4a:, (sina:)5 = 2.5.2-4 — ^^ 5. 2 -4sin 3a; -h 2 -4sin 5a;, et généralement , n étant un nombre entier positif quelconque , on aura (sinx)3"= 2-2«.p».p«.«. — 2-2" + '.{p"-*.p"+'.a.C0S2a; — p«-2.p« + 2.c^. 00340;

H- p«-3.p«+3.^. cosôo; — etc. zpp^^".». cos 2/20;} , (si^a;)2''+» = 2-2''.{p«.p«+».a.sina; — p''-^p«+2.^.sin3a; -H p'-^pn+S.^. gin 5a;

— p«-3.p«+4.«.sin7a; H- etc. di p=^''+^ftj.sin(2«+i)a;}; pourvu qu'on fasse partout p^".« = 1 dans l'avant -dernière , et p2«+ï.a= 1 dans la dernière formule.

416. Autre exemple. On a besoin en Astronomie de développer (1 — gfcoso;)-'» en une suite qui procède suivant les cosinus des angles multiples de oc. En

DES DiÉRlVATlONS. SSg

faisant dans la formule (5)^«=:i-'«, D.a= — Ç, et y , ^, g, etc.=o , elle donne sur-le-champ , l'exposant m étant quelconque, fractionnaire, irrationnel, etc. ,

(i — Ccosa:)-'» =

-t-{w^ H ^^ il-— !U ^02-2 H i^2:^ç5Q-4 -I 1 — ±-L ^72-6 + etc. .cosx

-f-j ^^^2-» H ^^ ^r-C^Q-^ H ^^ — ^^—^^62-5^ ^: — -î-i-^^82-7-HetC.[.C0S2X

•^ . o 7 ^^'H ^— -P^3-4H ^ T^ Xi2'^-\ \ ^C92-84-etc.[.cos3a?

etc.

où la loi elle facile à saisir. Cette manière de développer (1 — 6'cosa:)-'" me paroit ne rien laisser à désirer du côté de la simplicité (*). Nous pourrions aisément multiplier le nombre des conséquences intéressantes que l'on peut tirer des théorèmes (5) et (9).