Problème. On propose de développer

(p[cc H- Çcosa: + ^€0820; -H (^cos3a: + gC0S4x H- etc.} ....(1) en une suite de la même forme ,

A -+■ Bcosx -\- Ccos'ix -+■ DcosSx -h Ecos^^x H- etc. •••(2)

Puisque l'on a coso: = q-'c^V-* ■+- Q-ie-'N/-* et cosrx = 2-*je''*v/-i -f. €r''*y/-^ j , je fais e*V-^ = t et e-*v^-» = u , et j'aurai cost-o; = 2-*(^''-i-w''); substituant dans la fonction ( 1 ) , elle devient

^(« -i- ^"2-^^ -+■ y2-Ua -H (^2-1^3 4 gg-i^4 + etc. ^

( 4- €2-^u H- 72-1^2 H- ^2-1^3 4 s2-^u^ -+• etc. J ^ ^

Pour faire plus commodément les dérivations , je représente cette expression (3) par

a -^ U -\- ct^ -+- t^5 ^ eM H- etc. )

\i'u -h ç"u^ -+- b"'w5 4- ^'Vu^ | etc.

(*) On peut comparer cette solution à celle qu'EcLEH a donnée dans sa pièce sur les inégalités de Saturne et de Jupiter , couronnée par l'Académie des sciences de Paris en 174^ > et à la méthode de Claihaitt, Mémoires de l'Académie de Paris, année 1754, pages 54^ et suivantes.

36o DTJCAliCUL

OÙ je considère ï>', c", ^"\ etc. comme différens de b , c, b, etc. en exécutant les premiers développemens , sauf à faire après ces développemens t>'=:b, c'^ = c, b'" = b, etc. Or, le polynôme de (4) est un polynôme double, a y a deux dérivées, savoir n.a :^ b et n'.a = b', mais aucune des lettres b, c, b, etc. n'a de dérivée d', ni aucune des lettres b' , c" , b"' , etc. n'a de dérivée d. Sous cette restriction, on voit que la formule (4), analogue à celle du n.° 190, aura pour développement

(p\cc -H ê'cosor -+- ycosQo; H- Scos3x -f- etc.} = (5)

(pa + D.<pa.^ 4- p2.(p(,.^2 u ç3.(p(,.^5 4« p4. (prt.M + etc.

■+- jy'.(p<ii.u -f- ji'.D.(pa.tii -+- D^.-g'^.(pa.t^u + ly'. :ù^.(pa.t^u + etc.

H- p'2.(pa.w2 4- ç'2.D.(pa.^w2 + ■^'^.^^.(pa.t^u^ -f- etc.

-i- p'3.(p(j.i^3 «| p'3.D.(pa.^w3 -H etc.

-I- p'4. (pa. z/4 -h etc.

. . -h etc.

Or , puisque , d'après ce qui précède , les dérivations d' et d sont absolument les mêmes, mais totalement indépendantes entre elles , il est clair qu'en général p'^^a = p^<p<i> et p'^p^.^pa = p'^p^^pa ; ainsi on pourra ordonner le second membre de (5) suivant

1 , tu y f^w^ , t^u^ , etc. ; t -\-Uy t^u -\- tu^ , fiu'^ + f^u^ , etc. ;

L"^ -\-u^y t^u -K ti^ , t^w^ + f^u^, etc ; t^ + u^ , b'^u 4- tu^^ etc. , etc. ; et même, à cause qu'ici tu est égal à l'unité, tu étant == e*v/-i.6-*V-i, et que par conséquent toutes les quantités de la première de ces suites se réduisent à 1 , toutes celles de la seconde à ^-f- w , toutes celles de la troisième h.t'^-\-u'^y et ainsi de suite ; la série ( 5 ) s'ordonnera de cette manière suivant 1 , t -\-Uy t^ -\-u'^ y t^ -\-u^ y etc. ; et en remettant ensuite , à la place de P-^*u^-\- t'u^+^ = ^'" -f- w% sa valeur e^^v^-i 4- e-''*v'-i z=. Q.cosr^, on aura

(p\u H- ^coso; -+- ycosQo: -H ^cos3x -f- etc. j = .....(6)

(pa -+- D'.D.cpa + p'2.p2.(pa |- p's.pS.^^t ^ pf4.p4.(p(t+ etc. 4- (D.<pa 4- D'.p2.(^a 4- p'2.p3.<pa 4- p'^.p4.<pa 4- etc.). 2Cosa; 4-(p2.<pa 4- D'.p3.(pa 4- p'2.p4.(pa 4- p'^-p^*^*^ -i- etc. ). qcosqot 4-(p^.^a -H D'.p4.(pa 4- p'2.p5.(p(i | p'3.p6.<pa j etc.\QCos3a: 4-(p4.(pa 4- D'.p5.(pa 4- etc.)QC0S4ar 4- (p^.(?)« 4- D'.p^.(pa 4- etc.). 5.cos5:r 4~ etc. 4- etc. .

Dans

DES DÉRIVATIONS. 36l

Dans cette série, quoique p''«.p«.<p«=p'«.p'».(pû, cependant p''».p».(pa ne sera pas

== i — ! — ^-^ — : — !: — i-p'""+-".<pa, comme n. 413 , parce quicip''». et p«.

marquent des dérivations entièrement indépendantes , quoique les mêmes ; et il n'est pas difficile de voir, par le n.° i35, que l'on a généralement

p''».p''.(pa =

SD(pa.p«-^g'.2-' + p2(pa.p«-2.C2.Q-2 -j- p3(pa.p''-^.ê'^.2-^ + etc.)

où D". n'affecte que (px et non g", de sorte qu'en développant encore par p'". , on trouve pour le terme général de la série qui multiplies cos(/2— m) a: dans (6),

p'-p^^pa = (7)

DDCp«.p'«-i.Cp"-^^.2-=^ + p''D(pa.p'"-2.C2.p"-^g'.Q-3H- p3D(pa.p'»-5.g'3.p«- 1.^.2-4