etc. etc
Il est aisé de pousser ce développement aussi loin qu'on voudra.
:,v., (II.)
Des produits de facteurs dont les premières différences sont
constantes,
420. Les produits de la forme m{m — r^{rn — sr) {m — nr-\-r') ou
m{m'\-r{in-\-ir) (m + A2r — r) se présentent fréquemment dans l'Analyse;
nous les avons rencontrés trop souvent pour n'avoir pas désiré de les exprimer d'une manière abrégée , afin de simplifier les formules dans lesquelles ils entrent. Les signes de dérivation en offrent le moyen. Si nous n'en avons pas fait usage plus tôt , c'est que nous avons craint de présenter nos résultats sous des formes trop éloignées des formes ordinaires.
Vandermonde C") etKRAMP (**) , en assimilant ces produits aux puissances, ont été conduits à les exprimer commodément et à y remarquer plusieurs propriétés qu'on peut regarder comme les fondemens d'une théorie que ce dernier Auteur vient d'enrichir de plusieurs théorèmes, et à laquelle il a ajouté des recherches sur la manière d'évaluer ces produits par des séries convergentes.
Ces produits et les coefficiens binomiaux ont aussi mérité l'attention d'EuLER, qui a donné sur ce sujet différens mémoires (***) , et des notations particulières pour les coefficiens binomiaux. -
Sans entrer dans de trop grands détails sur la théorie des produits dont il est question , notre dessein est de la rappeler aux dérivations tant en ellemême que quant aux notations. Par ce moyen les expressions se lieront plus étroitement aux différentielles , ou aux intégrales définies , et généralement aux formules dont ces produits tirent leur origine ; nous aurons en même temps des signes très-expressifs pour les coefficiens binomiaux , et des moyens de rendre plus faciles certaines démonstrations par l'application de nos formules précédentes.
421. Pour abréger nous nommerons quantité factorielle , oti simplement factorielle , le produit 7n (m — rj(m — 2r)(m. — 3/') (tu — nr -f- r ) ,
( * ) Dans son mémoire sur d's irrationnelles de différens ordres avec une application au cercle , imprimé parmi ceux de l'Académie des sciences de Paris, année 1772, première partie, pages 489 et suivantes.
(**) Dans le chapitre III de Vyinalyse des réfractions astronomiques et terrestres, Strasbourg, an VIT.
(***) Dans les Acta , surtout dans les tomes VII et VIII des nova Acca de l'Académie de Pétersbourg. Comme cette matière est liée aux intégrales définies, on peut y rapporter plusieurs autres mémoires du même Géomètre répandus dans les Commentaires de Pétersbourg , ainsi que différeutes parties du 1." et du /j.e volumes de son Calcul intégral et de ses Opuscula analjtica.
ou
DES d:érivations. S65
ou m(m+r)(m + '2rXm + 3r) (m+nr—r); nous appellerons yizc^one//e
, -, ni{m — r(m — ir)....{mr-nr-\-r) .
divisée 1 expression — . LiO premier racteur m
s'appellera la quantité initiale ; r est la différence factorielle , et n l'indice ou le nombre des facteurs.
422. Si l'on suppose d.» ^ g' et zéro toutes les dérivées suivantes de a, on a , par ce qui précède -,
d'où il s'ensuit que , si l'on fait «= 1, 6'=:d.i==i, on aura
D^i*" = ?7i(//i— i)(?7î— 2)(iw — 3) (ttî— /2 + i), ....(1)
pourvu qu'on ne fasse ^'» = 1 qu'après le développement. On aura pareillement
(— l)''.D«l-''» = 7W(77î + l)(m + Q)(77l + 3) (tTî+TZ— l), •••(y)
r«.D"i '^ = 7^1(771 — r)(f7z—2r)(7ra — 3r) (m — Tzr+r), (3)
( — r)''.D"i *" = 77î(77î + r)(w-i-2r)(77?H-3r) (jn-\-nr — r). ...(4)
Ainsi, pour passer de (1) à (3), on divise dans d"]" l'exposant m par r et l'on
multiplie D«i ^ par r"; pour passer de (1) à (4), on divise dans d"!*» l'exposant
Tw^par — /' et l'on multiplie d«i~'^ par (— r)».
Si par l'expression d«. i"'^', où l'on a mis un point après le dénominateur — r de l'exposant ~ , on convient d'entendre que d. 1 , la première dérivée de 1 , est égale à ce dénominateur pris avec le signe qui l'affecte [ d^. 1 , d^. 1 , etc. étant toujours zéro ] , on aura des notations fort simples. Les factorielles
tu mm
(q), (3), (4"; s'exprimeront respectivement par dM~^*, dM ^' , d«.i~'''j ou bien parD". 1" = -^- , D". i'"^'^-, D".i'" = -'^-, en mettant 77i:r au lieu de — , pour plus de facilité typographique ; et Von aura
jjajni:r. ^^^ /•". D" 1 *" = ' et D".!*" ' "'"• = ( — ry.D*!** '•'-'' (5^
