Quant aux factorielles divisées , on a pareillement

rn{in- x\m-^i){in-V). . . . . . \m-n-\-^')

366 pUCAliCUL

^n,m..r. 772(m--rX^7i-2r)(m-3/-) (m-nr-^r)

^ 1 . 3 . 3 n r . 'ir . "ir nr '

ainsi les coëfficiens binomiaux s'expriment aussi très -simplement par nos notations. ______

424. Recueillons à présent quelques propriétés des factorielles. Sans changer la valeur de la factorielle d«.i'« = '^-j on peut changer ou l'initiale m ou la différence factorielle r.

Mr Mr

En effet, puisque i'»:'" = 1 *" , on a d«i«:'- = d"! *" ; or, numéro précédent, d«i'»:'^= , et d«i *" =___.dM *" ; donc on a

OÙ de 771 l'initiale est changée en M.

Pareillement, puisque i'« = '^=i'^ ,onaiyi'" = '" = D''i'' ; or on vient

mR '"^ . ff -T-.R.

, . DM'":''* -T''^ DM "^ ,

de voir que D" !'» = '■ = , et d^x = ^ ; donc on a aussi

nR „

où de r la différence est devenue R.

426. Puisque la valeur d'une factorielle demeure la même si l'on écrit ses facteurs dans un ordre renversé, c'est-à-dire, puisque

m{m — r){m — 2r)....(m — 72r-\-r) = {m-^rir-\-r){m^rir-{-^r). , . .{ni — r)mj ce qui est représenté par cette équation

^n^ltn.r. — J3/1 j (OT-nr+r):-r. . (g)

on a le moyen de changer le signe de la différence , sans changer la différence ni la valeur de la factorielle.

426. Si la différence r devient = o , la factorielle devient une puissance , et l'on a , v

DESDÉniVATIONS. 36j

car D'».i'»=0' = m(m— o)(m— Q.o)(m — 3.0) (m — n.o-ho) = m».

Si, dans le quotient de D«.i " divisé par d«. 1 , w et t» deviennent

zéro , la valeur de ce quotient ^era = — . En effet on a dans ce cas

et , en multipliant par zéro chaque facteur du second membre , où il y a autant de facteurs au numérateur qu'au dénominateur, il est clair que ce second

membre se réduit à ■«- .

427. Après ces observations sur les initiales et les différences des factorielles , portons notre examen sur les indices.

Théorème. On a pour d« + '. !'" = '■• ces deux expressions

jyn+sim:r, —- j^n^im .r. ;^j^si {m- nr) : r. ^ .....(il) et D« + M'":''' = D*. !'» = '■• XD«. !('"-"■):'■•. (l2)

En effet , on peut partager la factorielle proposée en différens grouppes de facteurs; ainsi l'on a

i>« + ^ !'«•''' z=m{m-r)(m-2r). . .{m-nr-\-r)x(m-nr){m-nr-r). . ,(m-nr-sr+r) z=m{m- r){m- 2r) . . .(m^ sr+r)x{m-sr){m-sr-r). . .(/w-jr-Tîr+r), ce qui donne le théorème.

428. De là on peut déduire les valeurs des factorielles lorsque l'indice de D devient négatif et entier , et même pour des cas d'indices fractionnaires.

De (12) il s'ensuit d'abord , en y faisant s = — n ,

jjO. im:r. __ j)-«^jm:r. ><u«. i(m4-nr):r. j

donc, puisque d^. !'" = ''• = 1'"''' = 1 , on a

D". ii'n + nr):r. ^ ^ '

et, comme d«. iC^+nO^^ = d". iim + r);-r. [formule (9)], on a aussi

p-ii,l«:r. := ^^^.—^, ».if(H)

368 DUCAL CUIi

En développant cette dernière équation , elle donne

(m-\-r)(^m-\-2r){m-\-3r) (m-i-nr)

La notation d-« a l'avantage qu'en la considérant comme une dérivation inverse de l'ordre n , elle fait trouver par sa nature même la valeur de jy-n^im:r.^ Car , puisque D«. 1'»= '"' = r^D"!"» = '', on a, en changeant « en — n, ■^-n^im:r.-—r'-n,-Q-nym:T^ c'est-à-dirc qu'au Ueu de multiplier par r lorsqu'on exécute la dérivation directe dans d. i*" = '• , il faut diviser par r lorsqu'on exécute la dérivation inverse dans d- '. i*" = '^« , ce qui s'accorde avec ce qui a été observé au n.° 384; et, en exécutant les dérivations inverses, on trouve

jy-n^ymiT. — ::: s», l ''• =z=

^7^ H- ^ (77Î -+-§-) (m^ H- Qr)

(/7î-Hr)(m -+- Qr)(w-j-3r) (j}i-\-r){m-{-'2r){jn-\-3r). . .{m-^nr)

On a donc r = n

429. En égalant entre eux les seconds membres de (i i) et de (iq) , on trouve

jj*. j(m-«r): r. '

et si l'on change n en — w, et ttz, r en M^ iî, on a aussi

j)-«.lAl:/î. = j,-«. i(^-*^) = ^ X

Multipliant ensemble ces deux équations, il vient

j^n^^m-.r.y^j^-n^iM-.R. - (l5)

jj5 iwtr XD*. lAÏ:^«

D". !('»-""■):'■• XD-". 1 (-M— f^):^.

Or , si l'on met — au lieu de j ( ou , comme on a coutume de s exprimer , si l'on suppose que 5 devienne infini), il est visible, par les n.**^ 426 et 428,

que D". 1 ° X D . 1 "* devient = -rrj- j donc ,

Théorème. Quel que soit », on a toujours

s s D". \^-^' XD-». \M.\R. __ ; ... .(16)

jf^« s s ' ^ '

D~. lC'n-nO:^XD^l(^•^-«^)=^•

OÙ l'indice — de d , dans le second membre , indique que les factorielles sont composées d'un nombre infini de facteurs ; et l'on a , en développant ,

D». i'" = ''-XD-". 1**=^- == (17)

r^,m.M(m-rXM-R){m^'2r){M~'2R)(?n-3r)(M-3R) à Tinfini

R''.{m-nr){M+nI{){m-nr-r){M+nR-R){m-nr-2r){M+nR-2li) ... à l'infini Toutes les fois que n est un nombre entier, le premier membre donnera une expression finie de l'expression en suites infinies du second membre. On voit que dans les seconds membres de (16) n n'affecte aucun indice, mais qu'il entre seulement dans les exposans de 1 ; ainsi le développement du second membre de ( 1 6 ) se fait de même lorsque n devient une fraction ou une quantité irrationnelle ; donc ce second membre donne une expression en suites infinies de d». !'"•''• xd-". i^^^* , lors même que l'indice n est fractionnaire ou irrationnel , positif ou négatif.

Si r = 1 et il = 1 , et si .9 est infini , on a

m.M(m— i)(M~i)(m — q)(M— 2) à l'infini

{jn — /2)(Mh- n){m — n—i ){M -h « - i){m — n — q)(Mh- /z — q) . . . à l'infini * Si de plus on fait j négatif et infini , on a ce théorème de Yandermonde ,

D~ 'iw, D~*l^ D«1'».D-«1''*^ = , w. . = (19)

{m-'n + i){M-{-n+ lX/w-/^ + 2)(M+7^ + 2)(/y^-7^ + 3)(Af+^ + 3).... à l'infini ^ (7n+i)(M+i)(m+Q)(Af4-Q)(m+3)(M+3) à l'infini '

et il est facile de voir qu'en effet le dernier membre de (i8) est égal au dernier membre de (19), en multipliant en croix ces deux expressions.

43o. Appliquons à présent nos formules de dérivations aux factorielles divisées. Ces factorielles ont des propriétés qui leur sont particulières : en voici quelques-unes.

On a p«i« = ç'»-«i'». ....i.(i)

La démonstration se tire des développemens. En effet on a

7n(m—i){7n — 2)....(Tn — n-\-i) TwCm— 1 )(to— q). . .(/z-f-i)