Si dans (3) on fait r=i et« = 5-HA/, on aura
im^^s + MyM ^ jjjm p*4-Af-i jM ^ pa^m^ p* + M-2 j M ^ p3|»i. n*+^-3 jAf j etC. + I?'"-5l'". p* + 3iM^pw ai»i, p* + 2iAf^pOT-i jOT^pi4-ilAf|p»iim^P*iAf j
car p'w+ii'" = o, comme on sait : donc, puisqu'on a, n.° 480, la suite précédente , écrite à rebours , donne ce théorème
pi + Mj^OT+Af __ /,\
l.p*l^-4-Bl'".p'+*l^H-p2l'".p' + ^l^H-p^l'".p' + 3iAf^p4im p*+4iM |etC.
Cette suite est aussi égale à pw-^i'^+M par le n.° 430. (*)
434. On démontre aussi avec facilité le théorème suivant , auquel Lagranoe parvint le premier (**), savoir :
i.qS"^( 1.Q.3 ) ~^\ 1.2.3 \~^ ®^^' ^ (2AZ-0(2/2-3). 7 .5.3.1 ^^,^ •
En effet, en faisant dans la formule (3) ci- dessus 7'=i, iw^zn^ Mz=.n\ cette formule devient
pnj2/i — pn(in.in) = p»!» } Dl^.p"-^ 1" --}- p2l«.p«-2 1"-|- p^l'^.p''-^ l» + CtC. ;
(*) Ce théorème a été donné par Edler dans le tome V, t." partie des Acta de l'Académie de Pétersbourg , page 97. Les dérivations nous y ont conduits d'une manière fort simple.
(**) Dans le tome V des Mélanges de l'Académie de Turin, page 177. Euler s'est depuis occupé de ce théorème dans diff'érens endroits. Voyez les mémoires de l'Académie des sciences de Paris, année 1778, -page 606, et le tome des Acta de Pétersbourg, que nous venons de citer.
DES DERIVATIONS. 5^1
et, puisque(n.°43o)p''i« = n^i" = i, p^-ii^sz di», p«-2i« = ç2i«^etc. , on a
p«,2« — 1 ^ (jjin)2 ^ (p2in)2 j (p3l«)2 -j- (p4l«)2 -f etc (6)
Le second membre de cette équation étant égal au premier membre de ( 5 ) , il n'y a plus qu'à démontrer que l'on a
pn^^n — Qnp«,i(2n-l):s.^ OU D^l^» r= Q^D". l(s«- 0 = 2-, (7)
On y parvient facilement au moyen de ce qui précède. En effet , en faisant dans (11) du n.° 427 r = 1, s = n et Tn =: •2n , on a d^^i^^" = d"i2'».d''i" ; mais D^^l^" = Q/z(q/Z— l)(2/î — 2)(2/2 — 3). . . . . . 6 . 5 . 4 . 3 . Q . 1 =
2/î(<27Z — q)(2/Z— 4)...6. 4.2 X(Q«— l)(Q/t — 3). . .5.3. 1=dM2«:2.xdM(2«-0:2. ;
or D". i2«:2. — 2''D''i«, par la i.'^* des formules (5) du n.° 422; donc d^i«*=: a'.D'i'XD". i(^"-0: a» = D'i^^.D"!" ; partant d^i^» = 2".d''. iC^n-O^a*.
Si dans l'équation ( 4 ) m et i^f sont fractionnaires et que n le soit dans l'équation (6j , puisque m , iW et /ï n'entrent pas dans les indices de d des seconds membres de ces équations, il s'ensuit que dans ce cas ces seconds membres seront des suites infinies égales à des dérivées à indice fractionnaire.
435. Remarquons, en passant, que, tti étant entier positif, on a (i-H i.x-j-i.^^-Hetc. -h i.o;^)'" = {i.x^ -H i.x^-^ + etc. -f-i..xH- i)«; et les développemens des deux membres renfermeront les mêmes puissances de X , l'un dans l'ordre ascendant , l'autre dans l'ordre inverse ; donc , puisque ces deux dévejoppemens doivent être égaux entre eux, quel que soit :c, il faut que les coëfûciens des mêmes puissances de a; y soient égaux entre eux. Or, dans la supposition den. 1, p^.i , etc. p^. 1 = 1, etp^ + M, "g^ + ^i, etc. = 0, le coefficient de xp sera pi*. i*" dans le premier développement, et dans le Uecond, il sera n^'^-f.i'", comme il est aisé de le voir (n.°83). Donc on a ici BP.i'" = p^'"-?. i«". C'est une extension de la propriété du n.** 43©.
A présent , si dans la supposition de d. 1 , p^. 1 , etc. , p^. 1 = 1 , on met 1^ au lieu de oc et 1"* au lieu de a dans la formule du n.° 87, on trouvera, comme n.° 433 , que dans cette supposition on a aussi
pj + /OT lOT+M -— pZAf-j^ jOT + Af ^:2 .;...(8)
l.p'.l^ -h D.l'».p'+».l-*^ + ps.l^ï.p'H-a.iM | p3, lOT.pJ + S.jAf ^ gtC. ,
et , en mettant dans le n.° 87 1" et i« au lieu de a et ^ , on trouvera encore ,
comme n.°, 434 , qu'on a dans la supposition actuelle
p^».i2« = 1 -f-(D.i«)2 -I- (p2.i«)2 -+. (p3.x»)2 -h (p4.i«)2 -+- etc (9)
372 DUCAI. CUI.
Ainsi les propriétés observées dans les numéros cités pour les binômes , s'étendent aux polynômes de la forme ci-dessus. Elles ont même encore lieu lorsque tto , M et n deviennent fractionnaires. Ces propositions appartiennent à EuLER : voyez le tome V , 2''* partie , des Acta de Pétersbourg. Les dérivations , comme on voit , en rendeift la démonstration fort simple. Après cette digression, revenons aux factorielles.
436. Si l'on met M'-^ au lieu de £« , et iP = ' au lieu de ^^, dans la formule du n.° 95 , D. i étant = r, on en tire sur-le-champ
-f- etc.
Cette formule donne la conversion de la factorielle du binôme en une suite de factorielles de monômes : elle est aux factorielles ce que la formule ordinaire du binôme est aux puissances. Nous y sommes arrivés d'une manière bien simple et sans induction.
* Elle suit aussi de (3) du n.° 48 q.
ijSy. Je mets M -\- nr au lieu de ^ , et je multiplie tout par d-». i^- '^- ; j'ai
DM(/' + ^+''0:'■•XD-''.l"W:^ = U«. l(M+nr):r. xjj-n, jAÎ: r. | d1«. D. If = '"• X D" -^ 1 (^+'""): '"• X D"». 1^= ^*
•4- pn^-D^. li':'--XD«-2. i(M + «r):r.xD-«. 1^ = ''- + CtC.
Mais on a d^-^'iC^ + «''):'■• xd-». i^:»"- = d-*. i^ = ''-; c'est ce qui résulte de (il) du n.° 427 si l'on y met — n^ n — A , Af au lieu de 7z, s et m. Ainsi la formule qu'on vient de trouver , se réduit à celle du théorème suivant de Van DE 11 MONDE, important dans la théorie des factorielles, parce qu'il sert à les lier aux intégrales défmies.
Théorème. d». i(/'+^+'"") 5 r. xd-«. i^^»"' =: (11)
-h etc.
Puisque riy p ^ M n'entrent pas dans les indices du second membre , celui-ci donnera la valeur de d''i(/'+^^+"'^)= xd-«'1^='", quels que soient n^ p et il/, entiers, fractionnaires, irrationnels, positifs ou négatifs.
En comparant avec (16) et (17) du n.° 4'29, où Ton fera R = r, et m = p -+- M -{- nr, on aura deux expressions de la même quantité factorielle
DES DERIVATIONS. 573
D". 1 '"'''• X D "«. 1** •■ *■• lune par une suite , l'autre par le quotient de deux factorielles qui se continuent à l'infini ; ce qui donne le moyen de convertir des suites finies ou infinies en produits continus.
On peut modifier la forme de ce théorème de différentes manières ; on
peut, par exemple, changer d-". i^=''- en —^ — (M + nr)r (^•''4^8), et alors
D". 1 (p + M+nr) : r.
la suite donnera la valeur de rior-, — ^ '• on peut exécuter la même
chose sur (i6) du n.° 429.
438. Si dans (1 1) du n.^ précédent on change entre eux net p : r^le second membre demeure le même ; donc on a
D". l(i' + ^+ «'■):'■• XD-M^'-'"' = D/'-''".l(/' + ^+'»'")-'"- XD -/'•''. l^:»"-,
ce qui donne une transformation d'indices assez remarquable. Du n.** ^'2j on peut aussi déduire la formule
■nTi j^wj : r. Tj* ttnir. '
en égalant entre eux les seconds membres de ( 1 1 ) et de ( i q ). La formule du n.° 431 n'est qu'un cas particulier de celle- ci j on l'obtient en faisant
r= — 1 , 7nz=Z—l^ SZZTTl—l,
Ces formules donnent le moyen d'avoir les valeurs des premiers membres, lorsque l'indice n est fractionnaire, pourvu que dans la première p : r soit un nombre entier et que s le soit dans la seconde.
439. Quoique les applications qu'on peut faire de cette théorie des factorielles soient ce qu'elle présente de plus intéressant , je ne pourrai m'en occuper que pour en donner une idée.
Soit proposé de ramener aux factorielles l'intégrale r 771/0;'^ '»»-i(i —x^)« do?, étendue depuis x = o jusqu'à a; = 1.
Je développe (1 — x'^)", et l'expression précédente devient
rmfx'^'"-^{i—Di''.x'' H- p^in.^ar — ^^l'i.x^'' -+- ctc. jdoj , ou bien
rmfx^^'^àix — ii\^.rmfx^^-^^~'^à.x -h '^'^\^,rmfx^^-^^^-*^àx
p3in. ^/T^yj^rw + Sr-l^^ j etc. ;
en exécutant l'intégration , on trouve
Bbbbb
374 DUCAIiCUr.
Cette intégrale , étendue depuis x = o jusqu'à oc = 1 ^ se réduit â
m m „ m 1 — Di«. ; h P^i". pn". —T- -h etc. . . .(iq)
Or cette expression est évidemment égale à
1 -|-Dl''.Dl-'".D-»l'"-f-p2l«.D2l-«».D-2l'n -f-pSin.D^l-'",»-^!» 4 etC. . . .(l3)
Comparant à la formule (1 1) en y faisant r=:i, p =: — 771, M =2771^ elle donne pour la série (i3) l'expression d''i«.d-''i'» ; et la formule (19) du n.® 429 donnera pour cette expression une fraction de factorielles d'un nombre infini de facteurs. Ainsi
rw/'a;'''"-'(i —.x'")'»^^, [depuis ^ = o jusqu'à a;= 1] = ...(14)
i(in-\-7i-\- i)<2(rn-{-n-^-Q)3{m-\-n-+-3)4.(T7i-{-n-\-/\.). .....
(AZ+l)(/7Z + lX«+2X'/^ + 2)(Ai + 3Xm + 3)(/2 + 4)(m+4),
