Voici un exemple où l'indice /^ de d est une fraction
Soit 1 le rayon du cercle , oc l'abscisse comptée du centre ; on sait que la surface est =f{i —oc^)^dx', et en prenant l'intégrale àe xz=io jusqu'à a? = 1 , cette intégrale est égale au quart de la surface du cercle ; je désigne ce quart par ^7f' Comparant yl[i —x2jj^^ avec r77ifx^"^-^{i—x^Ydx^ on a r = Q, 72 = ^ , rm — 1=0, donc m = | j mettant ces valeurs dans ( i3 ) et ( 14) , on trouve ^
il I 1 Q.4.4.6.6.8.8.10.10.1Q.IQ....
1^ = D-l'-D-î .î = 3.3.5.5.7.7.9. «J.ll.il. i3.... '
ce qui est l'expression connue de W al lis.
A cause que, n.° 427, p ~»"^^ i» = D m'.d'i*"^», ou d»i» = d »i* ,
on a aussi , ^ ^ ^
i,r = {d«iM% et D*i* = i^/zr,
TT étant la surface du cercle dont le rayon = 1.
Je ne m'étendrai pas davantage : je n'ai voulu qu'indiquer l'usage qu'on
peut faire des dérivées à indice fractionnaire et reveiller par là l'attention sur
les différentielles à indice fractionnaire, sujet qui a été peu cultivé jusqu'à
présent. (*)
(*) On trouve sur les différentielles à indice fractionnaire une remarque de Leibniz à la fin de sa lettre 4 Jean Behnoulli , du 28 décembre 1695, Commercium epistolicum , tome i.", page 107, et une remarque d'EuLER dans le tome V des anciens Commentaires de Tétersbourg , page 55 ; c'est i- peu -prés tout ce qu9 je Goi^nois sur cette matière.
(ni.)
De la méthode directe et inverse des différences , et de la transformation, sommation et interpolation des suites.
44 !• On peut apporter de grandes simplifications à la méthode des différences par la séparation des échelles et par l'application des formules de dérivation. Nous allons le faire voir succincternent , et montrer qu'on obtient ainsi avec la plus grande facilité les théorèmes généraux de cette méthode , et que ces moyens sont très-propres à l'enrichir et à l'étendre à de nouvelles recherches. w
442. Commençons par fixer la signification d'une notation qui nous devient nécessaire.
u ou (px étant une fonction quelconque de a?, on a coutume de désigner par w', w", w'", etc. ^("5, ou par m(0, «(a), w(5), etc., z/(«^, les valeurs ou les états successifs de u ou de (p a?, lorsque x y devient successivement x-\- iS^x^ ^-f- 2A^, 3c H- 3Aa?, etc. , a: -t- 7zA.r,et même les états successifs de u lorsque X varie par des accroissemens quelconques inégaux entre eux. On désigne aussi ces états successifs de u par des indices inférieurs , de cette manière : u ^ Ui^ ï^ii ) "mj etc., Wk , ou da celle-ci : u^ z/i , Wg > ^^3) etc , w„ ; et les états antérieurs à l'état primitif m sont alors indiqués par ï^- , , w.„, ?^,„, etc. «/-.n» ou bien par z/i , z/2, w 3 , etc. , «« , etc. Nous emploîrons ces notations; mais nous désignerons plus souvent ces Etats successifs par Ew, E^m, E^z^, etc. , Wu , etc. ; de sorte que Ei^=Wi , Wu = u^ , etc. , W^u = Un , E-"w = z^n, Eow= M ; et si ^ croît uniformément, on aura E"(px = (px, 'E<px=^(p{x-{-l\x), W(px = (p{x-\-<2àx)^ etc., E''(px = (p{x -t- TîAx), E-^(px={cpa: — Ax), E-'^(px = (ip (x — Q A or) , etc. , E-'^(px =: (p{x — n/Sx). On peut désigner de même les valeurs successives de la variable x, par E^x, Ex, E^x, etc. , E"x.
En se servant ainsi de la caractéristique E, on a l'avantage de pouvoir la séparer des quantités qu'elle affecte , et la faire entrer dans les échelles détachées des fonctions.
443. Soit que X croisse uniformément ou non, on a Ecpx = Ç^x -{- àx) =^ (px + A<p^ j donc, en détachant les échelles, on a
E = 1 4- A, etAî=E--i, (1)
376 ducalcul
partant E*» = (1 -f-A)"», E-*» = (1 -hA)-"» ,
/•Ô AiT ^
Si Aar = ^ est constante , on a (n.** 404) E = e^ = e ' ; et si l'on fait
A da: = Aa: (n.° 35q) , onauraE=e ; donc, si A a: est constante, on a
d = Aa?.B = logE = log( 1 + A) , (q)
c'est-à-dire que la différentielle est alors égale au logarithme de l'état varié;
et l'on a d" = (logE)".
444. Si l'on a la fonction (pix^y") de deux variables a: etj^, ces variables étant indépendantes, ou l'une et l'autre fonction d'une même variable ^, on désignera par E'» l'état varié de (p{x,j) lorsque x seul y a varié de A a:; par E'^ l'état varié de (Ç){xyj) lorsque j)^ seul y a augmenté de /S y; et par E Tétât varié de la fonction lorsque x et y y sont devenus à la fois a: -4- Ax , etj -}- A^, de sorte que
E''(p{x,j) =: (p{x-{-Ax,j), E''(p(a:,j) = (?)(a:,jK-4- Aj), E<p{x,y) = <p(a: -t- Aa:,jK H- Ajk) = E''E''<p(ar, j) ; et en détachant les échelles , on a
E'' = 1 -h A'., et E'i = i-f-A'', (3)
E = 1 H- A = (1 -4- Aï')(i -+- A'') = E''E''. .'^
Puisque A = A'' -1- A'i + A>'A.i = A'» -f- A'^ ( 1 + A'») = A'» + A''( 1 -i- A»' ) , il s'ensuit que
A = A'» -f- A'»E'', ou A = A'» -h A'»E'' ; .....(4)
et en appliquant l'une de ces équations à échelles à <p(a:,j^), on a
A(p{x,j) =: A''(p{x^jy) -f- A''<p(a: + Aa;,j^). On tire aussi des équations (4)
A" = (A'» -H A'»E'')'" » A» = (A'* -+- A'»E'0'" , S*" = A-»» = (Al' -h A'iE'-»)-'», x*" = (A'i H- A^'E'»)-"». Les équations (4) sont très-importantes ; elles rapprochent le calcul des différences de celui des différentielles.
Soit u = (p(a:,j^, 2) , les variables a; , jk> ^t 2; étant indépendantes ou chacune fonction d'une même variable t ; si l'on désigne encore par E»' l'état varié de // lorsque z y est devenu z -|- A-z, on aura pareillement
E'' = 1 H- Al» , E'i = 1 -h A'' , E»> = 1 -+- A"' , f 5 ^
De
DES D^éniVATTONS. 677
De là on tire E = (i H- A*» -+- A»»E'')(i -+- A»») = i -f- A»» H- A'^E»» 4- A»»' E^ -f- A»' A»»' E'' ; donc , en ôtant l'unité de part et d'autre ,
A = A»» -f- A'»E»' -tr A'»^E»'E»» ; (6)
et , comme A'», A»* , A»* entrent de la même manière dans A, on a aussi A = A'« -i- A»'E'» -H A'.ïE'»E'S ^ = ^"^ "+- A»'E»' -f- A.»E"iE»'. On trouveroit des formules pareilles pour quatre variables , et ainsi de suite.
445. On peut à présent prendre une fonction quelconque f des échelles dans les équations précédentes , et l'on aura
fEx<pa: = f(i + A)x<pa:, •••W
fEx<p(x,jK) = f(E^'E.OX(?>(a:,j) = f[(i-|-A'0(i-+-A.')]X(p(a;,j), ...(95)
fAX(p(x,j) = f(A»'4-A.iE'0x<p(a;,j^), •••,(S)
fEX(p(ar,j, z) = f(E''E'*E'»i) x<p(a:,^, z) =
f[(i-hA'0(i +A.O(i -+-A"»)]x(p(a:,j,2), • • • (®)
fAxcp(a:,^,j5) = f(A^ + A»» E»» -h A^^E'^E»') X (P(a:, j, 2). ...(S)
Ces théorèmes , dont on pourroit augmenter le nombre , sont vrais , que les variables x^ y et z croissent uniformément ou non uniformément ; et sous ce rapport ils sont plus généraux que leurs analogues (E) et (N) des n.°^ 405 et 40g. On développera séparément les échelles, en observant que f n'affecte qu'elles et jamais les fonctions séparées par le signe x ; puis on multipliera par les fonctions. On observera aussi que A'»E»»x<p(a:, y), par exemple, = A'»^(a: H- Aa:,^) = A'»«i,o, si u z= <p(a;,jK); que A'«E'^'E''Xm
446. Donnons quelques développemens résultant des équations précédentes. On a, n.° 443, E'*xu = ii -+- /Syxu , u étant = ^a;; en développant
l'échelle du second membre , on trouve
YPu = (1 H- «A H ^^ ^A2.H î: £!l___1 a3 H^ etc.)x w,
te qui donne
«„ == M 4- nl^u -\ '-ts?u H i: > — - — ù^u -h etc. . , .(n)
Cette formule se termine si n est un nombre entier positif; si n est fractionnaire,,elle ne se termine plus, et alors on s'en sert pour les interpolations.
C ce ce
SyB BUCALCUL
En procédant de même à l'égard de la formule E~"xw=:(i -|- A)-'»x-w, et en employant nos notations de factoriellea, on a
2^„ = w -H Di-«.A« -4- pi^i-". A2i/ -I- p3i-».A3i/ -4- etc. ...(8)
