La formule ^"11, = (E—i^xu donne

A«w = E«M — nE^'^u-l ^ — E"-2w ^^ — --^ E^-^u -^ etc. ; ,.Jq)

c'est la formule connue pour exprimer la différence d'un ordre quelconque

par

les états variés de la fonction.

Si l'on fait n négatif, on a A-^m =(E— i)-«xw; partant

2:«w = E-^u -f- n E-«-' M H ^^ — —^ E-'-^u H ^^ — : — '- — ^ E-^-^î^ -f-etc. ..(10)

C'est l'intégrale de l'ordre n en états variés de u qui précédent l'état initial u.

Si Ton fait az = 1 et Aoc constante, cette formule devient /-■) Z(poc = (p{x-^t^x) 4- (p{jc — 2A^) H- (p{x — Zùi.x) -4- etc. •••(^0

Nous ne dirons rien sur la manière de compléter les intégrales aux différences ; on sait qu'il faut ajouter une constante arbitraire à chaque intégration, et que cette constante peut même être regardée en général comme une fonction arbitraire, continue ou discontinue ; par exemple, si A^ est constante et = a,

il faut ajouter à "E.cpxXa. fonction arbitraire \|y ( sin , cos ^— ) , tt étant le