Q . 3.(m-|-3).(Aa;)5 . ^l v • y Ji
etc.
Ces suites se terminent lorsque y est un polynôme dans lequel il n'entre que
des puissances entières positives de x.
Pour éclaircir l'usage de ces formules par un exemple ; supposons qu'on ait
Ay A^y
y = x^ et Ax = r. On aura -^ = 3x^ H- 3xr -+- r^ , , , •< = 6a: H- or, •^ Ao; (Aar)2
.^ \g = 6 , ,, \, = o : et la formule (17) ou (14) donnera (Ax)3 ' (Ax)4 \ / ' \ -r/
a;(aî-f-r)(a; -h 2r)(ar H- 3r)
(* ) On voit cette formule dans un rapport fait à l'Institut national de France sur deux mémoires d'analyse de BoRMANK, actuellement Professeur de Mathématiques à Cologne, tome II des Mémoires de l'Institut national, classe des sciences mathématiques et physiques ; histoire, page iQ. Un de ces mémoires contient une formule qui parojt semblable à (F) du n,° 2S6 Je saisis cette occasion pour observer que mon travail sur le retour des séries a été fait long-temps avant que je connusse l'existence des mémoires du Professeur Burmann : au commencement de l'an V, j'ai communiqué à Fkajïçais plusieurs de mes théorèmes sur cette matière, entre «utres celui du n." aSy.
La
DES DERIVATIONS. SSq
La formule (18) donnera
2x3/' =3 x{x-ry — ^y^-~^). j3(a:-2r)2 + 3(a:-Qr)r -4- r^]
Supposons qu'on demande la somme des cubes des nombres naturels depuis 1 jusqu'à ioo3 inclusivement; il faudra faire r=iet^=ioi dans ces deux expressions : tandis qu'en employant l'expression du n.° 448 , il faudra y faire r = i,a;=i et» = 99; cette dernière expression est donc bien plus avantageuse pour ces cas.
C'est de la formule (D) dun.° 4^4 » développée, et dans laquelle on fait / = 1 , qu'on se sert le plus pour la sommation des suites ; ainsi qu'on peut le voir dans le Calcul différentiel d'EuLER.
457. On peut aussi employer les dérivations pour représenter les différences et les sommes, d'un ordre quelconque.
Ainsi, en supposant p".ï^ = w„ = E^w, ^"".2* = m„ = E-"w, on aura
A'w = !)«.( i«.ï^) (1), 2"?^ ^p-^Ci-^ï^) = p-«.(w.i-«) , . . (2)
pourvu qu'on fasse la dérivée de 1 dans 1" et dans i-« égale à — i.
On aura pareillement , en supposant p^.w z= A"u , b~'*.u = A-"ii z^^^^u, et faisant la dérivée de 1 dans 1" et 1-" égale à -h 1 ,
Enz^== p«.(i«.ï^) (3), E-«w = p-«.(i-''.w) = p-«. (w.i-n). ...(4)
Si l'on veut détacher les échelles , on peut faire p". E» = E", p-«. E^zr^E-" , p«.Ao = A", p-^.A^ = A-" = 2"; et l'on aura sous cette condition
A«M = p''.(i".Eo Xi^ (5), 2"^^ = p-«.(j-«.Eo)xw, ....(6)
pourvu qu'on fasse d. 1 = — 1 ; pareillement
E«î^ = p«.(i«.Ao)x7/ (7), E-«M = p-».(i«.Ao)Xz^, (8)
en faisant d.i = 1 dans (7) et (8) , et W= 1 , A» = 1 après les développemens de ces quatre dernières formules.
On a regardé u comme fonction de x', u et ses états variés Ew, E^w, E^w, etc. , ou w , Wi , W2 , z^3 , etc. , peuvent aussi souvent être considérés comme des quantités quelconques A , Ai , A^ , A-^ , etc. , ou A ^ B ^ C , Z) , etc. , indépendantes entre elles , et la plupart des formules des numéros précédons seront encore vraies pour ces cas.
Fifff
SgO DUCALCUL
Nous n'avons eu que peu d'occasions d'employer les dérivations dans ce ^ue nous venons de dire des différences : ainsi, sans nous laisser entraîner par la facilité que procure la séparation des échelles pour arriver aux théorèmes qui constituent la méthode des différences, passons à des cas où se montre l'utilité des dérivations. ♦
458. Supposons que la fonction à échelle fE du n.° 445 soit un polynôme ordonné suivant les puissances de E : si l'on représente par Hu la quantité au -\- hEu -^cWu -{- etc.-\- arE''u , ou au -\-bui -f- cu^-{-duz 4- etc. -\-arUr^ ..(1) [ la capitale grecque H , . mise au lieu, de fE , est ici une caractéristique et non une quantité ] ; si l'on représente de plus par VL^u ce que devient (1) lorsqu'à la place de u on y met Hî^, c'est-à-dire, si l'on fait
H^M = aHu 4- ^EHw -}-cE2Hm -H^E^Hï^ -\- etc. -H arY/^u; . .(q) qu'on fasse de plus
H^M = an^u -f- ^eH2m-{-cE2H2m-4-^e3h='w -h etc. -{-ar^'Yl^u^ . .(3) et ainsi de suite ; on pourra exprimer H^ «^ , VL^u^ etc., H'^u en Uj Eu, E-u, E^w , etc. : car l'on aura généralement
W^u = (^ï H- ^E H- cE2 -h dE^ -f- etc. H- arE'')'"Xu (4)
z=: a'^.u -j- D.a'^.Eu -+- ■g^.a'^.E^u H- etc. H- p'"'".^'". E'"'"?/ , •••(•5)
où a dans d^«" doit être regardé comme un dernier terme.
Cette proposition suit de ce qu'en détachant l'échelle de (1) , on a Uu = {a -h bE -{- cE2 -+- dE^ -f- etc. -f- «rE'')xz/; donc , en mettant Hw au lieu de u dans le premier membre et sa valeur dans l'autre , on trouve H^w = (^ + Z'E -I- cE^ 4- ^E^ -\- etc. -^arEjyxu; on continuera ainsi , en mettant de nouveau H u et sa valeur au lieu de u. On peut aussi appliquer, si l'on veut, à cette proposition la manière de démontrer du n.° 400.
459. Si l'on écrit la suite ( 1 ) ci-dessus de cette manière :
OCUr -^ ÇUr-i -+- yUr-z -+- etC. + «r-a ^^2 4- «r-i^i 4" «r^ ,
OÙ a, €", y , etc. «r-a » ar-i , «r sont respectivement égaux à ^;- , /Jr-i, ^r-a» etc. , c, ^, a^ et qu'on suppose b\u •=. Un •=■ E^u; on aura aussi Uu = b':{oc.u); Uus ^ E'Hu :=. ç'- + *.(a. w), w^u = p'"^(a'".z^) , ccr étant une dernière quantité. .
Mais , comme il est utile dans beaucoup de cas de détacher les échelles ,
DES DÉRIVATIONS. Sgi
remarquons qu'on a aussi Hu = p'. («.Eo)xm, H*»// = D«'".(a'».E°)x ", en faisant après le développement E^ = i , d.E^=. Ejp^.E^ = E^ , etc. , ©«.E^is E" ; ccr étant toujours une dernière quantité.
460. Si la relation entre les termes d une suite est variable , si l'on a par exemple la relation
u{in^ -\-km-\- l).Um-\-^{m'^ -\- pm -\- q).Um-i ■+- y{m'^ -\-7 m-\-s).Um-^ = o ^ ..(1) où m est la variable , tti -f- 1 étant le quantième des termes ou le nombre des termes de la suite ; il est clair, que plus m devient grand , plus la relation (1) approche de la relation constante
CC'Um -\- Ç'Um-i 4- y^Um-i = O, (q)
qui est celle des termes d'une série récurrente. En effet , l'équation de relation ^i) peut être mise sous cette forme
ou sous celle - ci , en divisant haut et bas les fractions par m"^ ,
Ot.Um -i- fc 1 j—'Um-i ■+- y ^ j-.Um-^ = O.
m m^ mm''
Donc, plus m devient grand, plus chacune des deux fractions approche de l'unité , et plus la relation approche de l'équation (q). Cette équation (2) se nomme la dernière relation des termes.
On voit donc qu'il y a un nombre considérable de suites dont la dernière relation des termes est celle d'une suite récurrente.
Dans les cas ci-dessus (1) , le premier membre de (2) n'est point zéro , mais il approche de zéro si m devient considérable ; si l'on désigne otu^. -H Çui -+- «yw par Hw, les quantités Hm, HEm, HE^?/, etc. HE'"w, etc. iront en diminuant , au moins après un certain intervalle , et approcheront d'autant plus de zéro que m sera plus grand; H«/, H^w, H^w, etc. H" m, etc. iront aussi en diminuant, et en général H"E'"m approchera de zéro si n et m sont considérables. Donc, si dans les cas pareils à celui de (1) on ordonne une suite suivant Hw, H2u, H^w, etc., ou suivant H Ew, H^E^w, H^E^?/, etc., elle sera ordonnée suivant des quantités qui iront en diminuant. Ces éclaircissemens m'ont paru nécessaires pour ce qui va suivre.
392 ' DUCALCUIi
461. Occupons - nous à présent de la transformation des suites pour des
cas fort étendus.
Problème. Soit proposée la suite
Au H- Bux H- Cwa -f- Z)w3 H- etc. -h A^.Us , (1)
et la suite « , . t^ , . . ^
Zu -\- yui H- d^a -+• etc. H- QrUf = Hu , (q)
w, ui, Uz, W3 ) etc. , ^, -5, C, Z), etc., 6", y, S^ etc. étant des quantités
quelconques ; transformer la première suite (1) en une autre qui soit ordonnée
suivantz^, EH'^i^, E^H^^'u, E^H^'^w, etc.
En détachant les échelles, on aura la solution par le théorème du n.° 25;. 'En effet (1) et (q) deviendront
{A -f- BE -h CE2 + Z)e3 + etc. -h AsE')Xu (C H- yE -h (?E2 H- gE3 -f- etc. + CrE'-)Xu. Comparant donc avec le n.° 257 , on mettra E à la place de a; , H à la place de ff ; et l'on aura, par la formule (iv) ,
{A -h £e h- CE2 -h De^ -h etc. -f- ^,E')xï^ = (A H- ^-'«D.^.EH'» H- ^D.(C-2'».D./^).E2H2'« 4- |p^.(ê'-3'«.D.v^).E3H3'»J
) + etc. + — p«-i.(C-'"".D.^).E''H'"" H- etc. (^"'
ou bien
^i^ H- j5wi h- Cwa -h Duz -+- etc. H- ^^w, = (3)
Au -H C-"'D.A.îV"Ui -f- ^D.(C-2'".D.^).H2'"M2 "H | Ç^ . ( g»- 3«. j)* ^) H^»» W5
-H etc. H- — p«-i. (Ç-'"».D.^).H'"«Wa + etc. :
on développera les quantités affectées de d comme il est dit au n.*' 25; , en ayant soin d'observer qu'ici As et Cr sont des derniers termes qui n'ont plus de dérivées. Ce théorème (3) est bien plus étendu que celui du n.° 257.
Si l'on propose de transformer la suite
u -i- Ui -\- u^ -\- US -i- etc. H- Us ; il suffira de faire chacune des quantités A ^ B , C, D , etc. As égale à l'unité dans le développement (vi) du n.o 25 7 ; et l'on aura ainsi une formule pour la somme de la suite précédente.
On peut tirer bien d'autres conséquences de l'application aux échelles des formules de l'article cinquième ; mais, sans suivre ces détails , il nous suffit d'avoir tracé la marche de ces applications. Nous allons nous arrêter à des applications du même genre qu'on peut faire des formules de l'article quatrième,
relatives
DES DÉRIVATIONS. - SgS
relatives aux suites récurrentes ; parce que les résultats qu'elles donnent sont liés plus étroitement à des théories connues.
