Problème. Supposons qu'on ait

au -\- hui ■+- cwa -4- ^W3 = Hm; (1)

on propose de transformer la suite

«^ -h Wi -+- «^2 4- «3 -H ?^4 -+- etc. à l'infini (2)

en une autre qui procède suivant Hw, H^w, H^w, etc. , Hm,^ H^z^i , etc.,

HWa, Ha^a, etC.

Nous n'avons supposé que quatre termes au polynôme (1) , afin de simplifier; mais ce que nous en dirons s'étend à un polynôme d'un nombre quelconque de termes.

Je détache l'échelle de ( 1 ) , ce qui donne

« -h ^E -h cE2 -h ^e3 — H = o ; (3)

mais, afin de comparer avec (1) du n.<* Q04 , je mets «, S*, y» J à la place de

d^ c, b^ a respectivement, et, multipliant par E'"-^, l'échelle (3) devient

aE»» + ÇE"-» h- yE'»-2 + (,^-H)E'»-3 = q. (4)

L'échelle détachée de (2) est 1 -hEH-E2H-E3H-E4 -j- etc. Je compare

(4) avec (1) du n.° Q04 ; je vois qu'ici E*" remplace Am , et que j* — H remplace

l pour l'instant ; en raisonnant comme dans le numéro cité , j'aurai

a-l-^(aE-j-^)-f-.x2(aE2-|-CE -1-7) ^ „ ^ / r' -2 Z ^.1 x^x =l-H^EH-.-c2E^-f-a;3E3-f-etc (5)

Ici X n'est point affecté de E ou de H , il n'est introduit que pour ordonner les termes.

Présentement , si l'on fait x =. i ^ et qu'on multiplie (5) par u ; il est clair que l'on a

«-|-fc4-y-hd— H /7v/

c'est-à-dire que le premier membre est égal à la somme de la série ( 3 ). Je

fais a-f-C4-y4-(J = ^, pour plus de simplicité ; pilisque -7 = — -p __

■tT2 uS

-h Tj + T7 + etc. , je trouve sur-le-champ , en effectuant la division par le dénominateur du premier membre de (6) , et ordonnant par rapport à E ,

3g4 DUCALCUIi

(I H- E + E2 -f- e3 H- e4 H- etc.)Xw = -H (a H- Of^E + -^^EH +-pEH2 "+"l4^^^ -h etc. J X J^ ....(?)

H- a[-^E2 +-ijE2HH--|3E2H2+^E2H3-HetC.jXM;

ou bien, en remettant pour a, C, y leurs valeurs d^ c, h^ et observant que %^Wu = WUs , on a , pour la solution du problème ,

w -h Wi -+- Wa -+- W3 4- i/4 -h etc. =

(è + c + rf){^ H- ^^ -f- ^3- -4- ^5- + etc. i ,^(W, Hw, H^w, H^Ui j

-*- '^ix -*- ^r- + ^^ + ^r + «'<=• î

Si l'on veut avoir la somme de la suite terminée

w -f- Ml -i- Wa -4- u^ •+- etc. -h Un, on multipliera (7) par E"+ », afin d'avoir la somme de la suite non terminée E" + 'm -h E" + -m 4- E«+3^ ^ etc. ; on aura, pour cette somme,

(j Ho + rf)i^ + S^ + ii^ -+- -î%ti. + etc.}

+ (c + ^)i— ^ ^ ~—jr — ' p 1 F ^ ^^^'\ ' ••••(9)

jM„+3 Hm„4.3 , H2m„ + 3 h3m„ + 3 ,