Exemples. On propose de sommer la série

1 -+- 3^.p^ -h 5 2. y» 4 -I- 72.^^76 | g2.^8 } 112.^10 | etc.

Si l'on fait ici m = 1 j Ui = 3^.p^ y u^ = 5^.p^, etc., l'équation de relation (n.**45o) sera (^im— iy.Um — (j2m-\- lyp^.Um^i = o, où m est la variable, et l'on aura, pour la dernière* relation des termes, Um — p^Um-\ = o. Ainsi oc = bz=. 1, Ç =.az=. —p^ , c = o, d=zo f k=: \ — /72 j jji/ = —p^u^Ui = 8/72, H^u = «2 — 2p^iii-\-p^u = 8/?4, H^i/ = W3 — Sp^Uz 4- 3;p4wi — w = o , H^w = o, H^M, etc. = o; substituant dans la formule (8), elle donne, pour la somme exacte de la série ci - dessus ,

1 Sp^ 8p^ __ 1 -4-6yp2+-^4 ~T-- ;

i^2 + ^i-p-^y '^ (,1-pO^ " Ci-/>^)5 • Soit proposé de sommer la série

1 ; i r- -f- -^7 h etc. H t*+ etc. ,

p /?2 y»^ yC>4 yyt '

en supposant n égal successivement à 1 , 2 , 3 , 4 , etc.

On fera u z=. — , «/, = , etc. ; l'équation de relation et celle de der-

niére relation seront

nV.Um — i^ .M»i-i = 0, .ï/m-i -j- w« = o;

ainsi A= 1 ,Hz/ = u + Wi ; et l'on aura

. H'w = ( ^) w -f- j( ) wi H i^ —( ) «2 -i- etc.

+ SQ )Us-i -f- Usy

^ p d'où Ton tire H^ w = o , si w = 1 ; U^u = o , si n = 2^ H^u = o , si« = 3 ; et ainsi de suite. L'on trouvera ainsi pour la somme exacte de la série proposée , savoir :

1 ° ^ - si /^ - 1 • 2 « ^^^~^ '^ si /z - 2 • *• (y9-l)2' ^"^ - '' ^- C/^-O^ ,Sl/Z-2,

^oPÇP^tjyjZlP. si/2-3- .. ^4-H-;i;,5-|,»xp2.4-^ si/Z-4'

^' ^p- 1)4 ,si/2-i, 4. (;?-i)5 ,si/z 4, et ainsi de suite. Si Ton ne veut les sommes que jusqu'au terme inclu-

596 DTJCAIiGUl*

sivement , on les trouvera égales à

(^p — 1)2 ~^ Qp — 1)2 "p' p ^ X ^ ^ "■ * »

p(,p-\-i) 1 pÇp-hi') il p U X «î„-,

et ainsi des autres.

464. Problème. Étant proposée la même suite que n.® 462 , savoir

au -+- bui 4- CW3 -f- dui = H«, (1)

on demande à interpoler les termes de la suite

i^ -H w, -4- «2 + W3 4- M4 -H etc. ; («)•

c'est-à-dire, m étant quelconque entier ou fractionnaire, on demande la valeur de Um par une suite ordonnée suivant TAu^H^u ^l^Uy etc. , Hwi , H ^ Wi , H^i/i, etc., Hwa, H^Wg, H^î^a, etc., etc.

Tout demeurant comme au n.** 462 , je reprends l'équation à échelle (5), savoir

^^ ^5 — ^ — -. ^^ — m — ;t — = 1 H- ^E -h ^=*E2 h-^5e3 ^ etc.

On voit qu'il s'agit d'avoir la valeur deE*" par le développement du premier membre, c'est-à-dire de trouver le coefficient de^r*" dans le développement du premier membre; le coefficient de x"^ dans le second membre étant E*".

Je partage le dénominateur en deux parties, en faisant K=. o6-\-Cx -^yx^ -\- ^x^) alors ce dénominateur devient V — x^H ; et, puisque

. ' , „ = V-^ -h r-^x'^n ■+■ F^-^x^'^U^ + JT-Ax^-^U^-i- etc.,

le premier membre de (5) devient a ^

H- a;(aE + C) U^-' H- P^-^x^H -h V-'^x^U? -h F-4x3-3 H^ + etc.) ..(io)

■^a;■^(aE2-f-fE + y)) Or y-'' étant = a-'^ -+- o.a-'". or + ç^. fl5-r.j,2 [ p3. ^-r. a;3 -f- etc. , où ^ est considéré comme un dernier terme ; il est clair que le coefficient de x"^ dans V-'^ est p'".a-i; que ce coefficient dans V-^x^ V-'^x'^^ etc. est ç'"-'-.a-', p'»-2.a-», etc.; que ce même coefficient dans V-'^x'^ ^ V-'^x'^^ V-^x^ ^ etc. estç'«-3.^-2^ pw-^.a-a, p'n-S. ^5-2^ etc. que dans /^-^ a: 2- 3, /^-3j;a.3'-Hi, ^-3^.3.34-2 j etc., il est ç'»-2.3.^-.3^ p'«-2.3-i.ctf-3j p«-8.3-2. ^-3 ^ etc. ; et

ainsi

tocs DÉRIVATIONS. ^97

ainsi dé suite. Donc, en ordonnant par rapport à E, on aura pour le coefficient de x"" tiré de (lo)

+ (ap'"-^.a-5 + €'p'»-7.a-5 4- 7p'"-S.É»-5).H2

-f- (ap«-^«-i 4- Çp'«-2.«-»).E

H- (ûjp^-^.a-a + Cp'"-5.ûj-2).EH

| («p«-7.«-3 + ê'p'«-8.«-3).EH2 -...-.(il)

+ etc r

| «pm-a. «-1.E2

H- ap«-5.a-^E2H

-f- etc ;

et , en multipliant par u cette équation à échelle , on a sur-le-champ , pour

la formule cherchée ,

Um = (ap".»-* + ^p'"-^«-^ + yp'«-2.«-i).M

-h Cap*""^.»"^ + g'p'"-4.a-2 -j- yp'»-5.«-2).HM H- (ap«-6.a-3 |- Cp'"-7.a-3 4- yp«-8.«-3).H2i* H- etc