etc
où l'on aura en général le développement de H^Us par la formule
a'^.Us -4- n.a^.Us^i 4- p^.a^w^ + j + p3.a''. i/j|.3 -^ etc., laquelle sera toujours terminée , parce que r est entier positif. On regardera d comme une dernière quantité.
Hhhhh ^
Si m est entier positif, on peut développer les quantités affectées de d par nos règles de dérivation, ainsi qu'on l'a fait voir n.''^ qo8 et qii. Si tu est fractionnaire , ainsi que l'exigent les interpolations ; pour développer en général D*".»-*, on décomposera a 4- ë'x -H yoc^ H- J^x^, c'est-à-dire d -+■ ex -+hx^ -f- ax"^ en facteurs binômes. Soit ce polynôme, ainsi décomposé, égal à
jw(a — x)(b — x)(c — x) ; on aura, par la dernière formule du n." 217,
r a-'"-*(b — a)-*(c — a)— ^, a seul variant de — 1 çm^gg-j;;::^ ^-jp*-i. ; 4 l5-m-i^jj j)^-j^(l^^,^ fe scul Variant de— 1,'
(i3).... / H- c-'"-'(a — c)-*(b— c)-*, c seul variant de — 1
formule dans laquelle s est entier positif , et qui, par cette raison, est toujours développable quel que soit m.
465. La solution précédente s'étend au cas où la suite ( i ) a un nombre quelconque de termes ; car , si l'on avoit
au -h hui -f- CW2 -h dw^ H- etc. H- ar-iih-i -f- arUr •= Hm, • .(H) on écriroit aussi cette expression de cette manière :
OCUr H- CUr-i -h yUr-i H- CtC. -}- Oi,T-\U\ -\~ OCrU 'Ru =. O, * «(l^)
en faisant ar-=^ ut etc. â^ =r «r ; et l'on formeroit, tout de même que n,° 2o5 , la fraction suivante a + X» + .^C + x^!D + etc. + ^-K ,^,3,^,.E. + etc., .(.6)
où l'on alK==a, B = Q5E+g', (1 = aE^ -f- €"£ -f- y , etc., U=ûîE''-^-h
ÇE'--2 -h yE'"-3 -h etc. H- «r-iE -f- «r.
On feroit le dénominateur de (16) égal à V — a: ''H ; et après avoir développé (^— a;''H)-i , on chercheroit le coefficient de a;'» dans le développement de la fraction qui forme le premier membre de (16) ; coefficient qui , en vertu du second membre , est égal à E»». Multipliant ensuite par u l'équation à échelle que l'on obtiendroit , on trouveroit la formule
um = (17)
(ar-.i.p'"-''+'.«~' -|-ar-2.ç'"-'" + ^.«-* -f- etc. + Çç'«-^a-» + ap'".»-!).» -+- (ar i.ç'"-^''+^a-^-H ar-2. p'^-^r + s.^-a f etc. H- g'p'«-'"-'.a-='-l-ap'"^.«-^).H« H- (a5,-i.p«-3'-+ i.«-3-f- ar -2.p'"-^''+ 2.a-5 -H etc. H- Cn"'-^'-Kcr^-hct^'"-^':cc'^).n^u 4- etc
DES D^niVÀTlONS. Sgg
H- (ar-8.p'"-'+'.a-> ■+- etc. + ^p'»-^»-» + («p'^-'.a-O-Wi
H- (ar-a.p'"-=''+'.a-2 } etc. + ^^'«-''-2.^-2 j «p'^-^-'.a-^^). Hi/i
H- etc é
-t- (ar-3.p '""'■+ '•«"•* H- etc. + ê'p'"-^. «-> + ap"'-2.a-').M2
H- (ar 3.p'"~^''+'.«-^ + etc. -+- Cp'«-''-3.a-2 4. ap"»-''-2.^-2).H«3
-h etc, , etc. ;
l ap«»-''+».a-».Wr-i H- ap'"-2'' + ».a-3. HWr-x -h ap'"-^'+'.a-^.H2i/,^i
-j- etc.
Ici Il"Us est donné par la formule terminée
a°,Us -h jy.a'^.Us + i H- p2./z«.w, + a 4- pS.â^n.z/,^- } etc.,
n étant entier positif : on y considère ar comme un dernier terme. Supposons qu'en décomposant /^ en facteurs simples, on ait C6 -h Cx^ -+- yx^ -h etc. + ocrof = fx{a—x){h — x)(c—x)(b—x)x...; -
on aura en général
a-'»-ï(b — a)-*(c — a)-'(b — a)-'X . . ., a seul variant de — 1 ,
-l-b-'"-i(a — b)-*(c — b)— '(b — b)— 'X . . ., b seul variant de'— 1 ,j
^-'p*-». ^| c-'n-i(a— c)-*(b — c)-'(b — c)-'X . . ., c seul variant de — 1 ,> »
H- b-'"-»(a — b)-*(b — b)-'(c— b)-'x . . ., b seul variant de — 1 ,|
expression qui donnera p*". a-' lors même que m est une fraction, i étant entier positif.
La formule (17) sert ainsi à interpoler les suites dont la dernière relation des termes est celle d'une suite récurrente d'un ordre quelconque.
466. Si l'on a Hi^ = o , c'est- à -dire si l'on à l'équation au •+- huy H- ci^2 + dw^ + etc. -+- UtUt = o,
ou CCfU -h eCr-i'Ui -H CCr-i-Uz H- etc. -f- CUr~i + C6lh = O,
à laquelle on peut réduire toute équation linéaire aux différences (finies) , d'un ordre quelconque , dont les coëfficiens sont constans ; et que l'on suppose /Sx = i ^ u = (px , partant Um =(p{x H- 7n) ; en faisant x = o dans u , on aura u = (p(o) , Ui = (p(i) , Ug = <|)(q) , etc. w« = <p(^») , et la formule (1 7) deviendra
400 ' D U C A Ti C TT t,
Ç{m) = <p(o).(«r-ip'»~r+i.cB-i + ar-2p'»-'" + 2.«-» + etC. + «p^.a-O + <p(i).(«r-2p'"-''+'.«-*H- ar-3p'""'"+^.«"' + etc. H-ap^-'.a-i)
(19)... H- (p(Q).(ar-3p'"~'"+*.a"^ 4- «r-4p«-'-+2.a-i-f-etc. -j-ap"-*.»"') + etc -l-<p(r— i).ap'«-'' + i.«-> ;
où 772 est la variable dans (p(m)^ à la place de laquelle on peut mettre x si l'on veut : et cette formule est l'intégrale d'une équation linéaire aux différences (finies) d'un ordre quelconque , à coëfficiens constans ; <p(o) , <P( 1) » (p(2), etc. ^(t'— 1) sont les r constantes arbitraires. En faisant (p(m) = ^m, cette formule coïncide avec (i3) du n.° qo5 pour le terme général d'une série récurrente d'un ordre quelconque. -^
La formule (17) s'accorde avec celle (5) que Laplace a trouvée au n.° v de son mémoire sur les suites , cité ci - dessus. Notre analyse est différente à quelques égards , et l'usage que nous y faisons des dérivations rend les notations plus expressives et les développemens plus faciles.
467. On a l'expression au + h^u -f- cJEJ^u -4- d^u = Uu sous la forme
a'u -+- h'àu + c'A-^u -i- d'A^u = Vm , (qo)
V étant une caractéristique ; et l'on demande Ef^u par une suite en Vu, V^u, V^w, etc. , dans laquelle E n'entre pas, mais A, A^ , A^ , etc.
Ce cas se ramène à celui du n.^ 464 , de la manière suivante. Puisque l'on a ici Vu égale k Uu, l'expression Vu étant ordonnée suivant Am , A^u, etc. , tandis que Uu l'est suivant E«/ , E^u, etc. ; en détachant les échelles et mettant E — 1 au lieu de A , on aura
et , puisque pour déduire ce -h Coc ^ yx^ + Jx3 de ccE^ -h €e^ -hyE-h S, il suffit de mettre o;-^ au lieu de E et de tout multiplier par œ'^ ; on mettra œ-^ à la place de E dans (21), on multipliera par œ^ , et l'on aura
a'x^ -^b'(i—x)x^-hc'{i—xyx-hd'{i-xy=zcc-{-ëx-i-yx2-{-Sx\ ..(22) En ordonnant le premier membre suivant les puissances de x, on aura facilement les valeurs de «, g*, y, § en a' , b\ &, ^% et réciproquement.
Je reprends l'équation ( 5 ) du n.° 464 , et j'en mets le numérateur sous la forme ^^ (1 -x)^ + B^{i -x)x H- C'^% et au lieu de E je mets sa valeur ^ + A . J'ai d'abord , en ordonnant suivant x ,
DES lîlâKlVATIONS. ^Ot
A' -H (5* - <xA^^x H- (C'-5' H- ^')a:2 =
D'où , en comparant les termes , on tire
A' = oc, i5' = C-l-3«-f-aA, C' = y + 2^+ 3» -f-(Ç4- 3«)A-l-aA»; et, en mettant d\ c' , b^ au lieu de leurs valeurs tirées de l'équation (22), le numérateur sera
(1 —xyd' -H (1 -'a:)a:{c» + ^^'A} 4- x^j^' -H c'A + <i^A2( ; et le premier membre de l'équation (5) du n.° 464 deviendra
i^ ,7 ,A \7, A \ ^[|/^-^ -h /^-2a:3V H- >^-3jf2.3 V2-f- etc.L
Il ne s*agit plus que d'avoir le coefficient de x'". Or , ce coefficient dans (1 — ar)2/^-i est p*".»"^ — Qp'»-».a~^ +p'»-2.«-i := A^p''-^. ^^-i, 772 étant ici la variable par rapport à A, et lS.m = 1. Le même coefficient dans (1 —x)xV-'^ est p'"-^a~^ — p"*"^.»"^ = Ad'"-^»-! ; dans {1 — xY J^- ^ x^ ^ il est ^2pOT-5. ^-2j et ainsi des autres. On formera donc facilement la valeur de E", qui est le coefficient de x*» dans le second membre de l'équation (5) j eî en multipliant par u , on aura , pour l'expression cherchée , E"M=i/„=z l^'p^-a.i^-i -1- c'Ap'^-^oj-i 4- ^'A2p'«-2.^-i|. ^^
H- {^'p^-S.flj-a -} c'Ap'«-5.a-2 j ^»A2p'»-5.^-2}.v^
-}- {^'p^-S.^-S H- c'Ap"'-8.^-3 4 ^'A2p'»-8.Qj-3j.yai^
H- etc
