X ■•-. "oF ce n^F ce ji^F ce 1 XV

F(«4-x) = F« H ^x H -x-^ H %x^ + etc. (s)

2 DUCALCUL

Je prends pour la caractéristique des dérivations qu'on considère ici , la petite capitale d , de caractère romain , parce qu'il est nécessaire de distinguer ces dérivations des difFérentiations auxquelles Leibniz a consacré le signe d.

3. On sait de plus , par le calcul différentiel , que , si l'on regarde oc comme la variable , on a

dF« ^„ d2F« ,„ d3Fa

où àoc est constante et arbitraire ; on peut donc faire d» = i , et dans cette supposition on a simplement dF» = dFa , d^F» = d^Fa , d^F» = d^F» , etc. , et les règles des dérivations sont les mêmes que celles des difFérentiations.

Soit, par exemple, F(«+a;) = log(«+a;); on a Fflc = loga, d'où, en faisant d« == 1 , d^a = o , on tire par dérivation

D loga = «"'.da = a-» , D2loga = Da-i = — i.a-S D^loga = i>(— 1.«-2) = i.Q.a-3, D4log« = d(i.2. a-5) = — 1.2. 3. «-4, etc. Donc

log(a -h ^) = loga H ^— r^^'^ + ô-T'^^ — TT^^ + ®^<^-

^ ^ oc 'ioc^ ^cc^ \cc^

Si l'on avoit à développer Y{pt,-\-^x)^ on n'auroit qu'à changer dans (q) x en

^x , et en détachant les é* des x , on trouveroit

F(a5+Ca:) = Fa H ^^x H =^ — o^a H ^ a:^ H- etc (3)

Mais on peut aussi regarder les ^ de ce développement comme provenant des opérations faites sur F«. En effet , supposons que ec soit une fonction fa d'une

variable a, telle que dfa = C et da = i ; alors dF« devient --5 — • -j— =

' ^ , a« da

-—- ^-dfa = DFa.nfû. Comme ici nfa = dfa doit être == Ç, et D^f^ =