Q.OC
d«fa = o , il suffit de supposer f a == S'a , Ç étant constante.
Pour distinguer cet état de dF^:^ du premier , où da = 1 et d^» = i , nous mettrons un point après le d, nous écrirons d.F« pour dF^-Ç, et nous dirons que D.Fa est la dérivée de F«, oc variant et ayant d.» = ^ = dfa pour dérivée ; tandis que d F tv sans point après d est la dérivée de Yu , oc variant et ayant dcc= 1 = d^ pour sa dérivée.
Si l'on fait sur d.F» = oFa.n.a = nFa-C la même opération qu'on a faite sur F«; on aura, d.« = 6' étant invariable, d*.F« = D.(DFa.D.a) = »«F«.(d.«)« = D*F«».C3 ; ensuite d^^.F^ = D.JD2r«.(D.a)^} = D-F«tf.(D.a)5
DESDÉRIVATIONS. 3
= d'Fo.^', et ainsi de suite; de sorte que la série (3) s'exprime aussi de la manière suivante :
F{<, + f:.) == F« + ^x -H H^x^ ^^:,^ + etc. . . .(i)
En opérant ainsi sur log», par exemple, on trouvera
log(« -+- ^x) = loga -h -oc -xi -h «-5 ^^ ^^^ + etc.
4. Si l'on compare cette manière de développer les fonctions des binômes avec celle qui est en usage dans le calcul différentiel , on verra qu'elle en diffère en ce que nous prenons ce pour la variable et que nous mettons pour D.x le coefficient que x a dans le binôme ce -f- €x.
5. Pour passer des fonctions des binômes à celles des polynômes, prenons de chaque membre de ( 4 ) la fonction (p ; nous aurons , d'un côté ,
(pHu-hCx) = (p(Fc-^^^x -+- ^^:^xi -h ^^x^ -h etc.);
^ ^ /YV , j^2 1.2.i
de l'autre , en mettant dans ( 4 ) (pF au lieu de F ,
„ „ V „ d,(DFcc D2.(2)Fœ Ji^.OFee t
Donc , en faisant F et = a, D.F« = D.â5, D2Fa = D^. a, etc. , on a
0(a-\ x-\ x^ -f- etc. ) = (p/z H ^—x-\ ^^—-x"^ -{- etc . . .(5)
Il s'agit de trouver les développemens àe-D.^a^ T>^.(pa, D^.^p^, etc.
Il est visible d'abord, par le n.° 3 , que iy.(pa = nCpa.n.a) mais ici, d^.û^, D^.a , etc. n'étant pas zéro , n'^.cpa , i^'^.cpa , etc. ne sont plus égaux à d2^«.(d.«)*, d3<P^.(d.<z)3, etc. , et il est clair qu'il faut y ajouter les quantités qui proviennent de D.a , Ti\a , etc. variables.
Pour trouver D2.(pa , il faut faire sur n.cpa = vtCpa.n.a la même opération qu'on a faite sur cpa pour en déduire D.cp^z , mais en considérant j^.a comme ayant ly^.a pour dérivée : or les signes d et d étant ici sujets aux mêmes règles, on aura n'^.^a = D.(D(pa.D.«) = Ti(paxT>.{p.a) -h d.(d(P«)xd.<i == T>(pa,iy'^.a -i- i>^(pa.(pja)^ ; on aura pareillement ly^.Ça = D.(D^.(pâ!) z=: D. jp{pâ5.D'*.<i H- i>'^(pa.{i}.ay] = ji.(pa.i}^.a -H D^(pa.j},a.i}'^.a -{j}^(pa. 2J).a,i}^.a + d3(P«.(d/«)5 = i>(pa.j}'^.a H- 3j}^(pa.j).a.i}'^.a -4- D5{pû.(D.<z)5; et ainsi de suite. On voit donc que les coëfficiens des différentes puissances
% DUCALCUI.
de X , dans le développement du second membre de (5) , dérivent les uns des autres et du premier terme (pa^ toujours par une même loi uniforme, et qui est encore la même au fond que celle par laquelle se forment les termes successifs du développement de F(a H- .t) ; il n'y a de différence qu'en ce que dans F{oc -+- oc) la dérivée boc est = i , tandis qu'ici la dérivée B.a est variable et a elle-même D\a pour dérivée, et ainsi de suite.
