Mais si le polynôme a -\- b.œ -\ x^ -\ x^ H- etc. est tel

fjue h ne dérive pas de a, ni c de ^ , ni ^ de c , etc. ; ^, b^ c^ d^ etc. étant

des quantités quelconques , qui ne sont liées entre elles par aucune loi ; alors

on n'a qu'à feindre que « , ^, c, d, etc. dérivent les unes des autres, et

l'on aura encore

(D(a -\- h.x -{ x'^ H —x'^ -h etc. ^ =

(ba -f- i>.(î)a.x H — x^ -\ ■^-irx^ -\- etc. ,

pourvu qu'après les dérivations effectuées on change i^.a en by D^.a en c,

T)^,a en d^ etc.

En effet , avant la substitution de Z» à la place de o.a , de c à la place de D^« , etc. , le développement du second membre de (6) coïncide avec celui du second membre de (5) ; or, après le développement tout l'effet de la dépendance des quantités B.a , B'^.a , B^.a , etc. est produit , et on peut alors les considérer comme indépendantes; c'est-à-dire qu'on peut mettre après les dérivations dans les deux membres de (5) b au lieu de D.a , c au lieu de ij^âJ, etc. On a donc le théorème suivant :

Pour développer la fonction

(p(a H- b.x H a;2 h x^ -h etc. ) ,

a y b j c , d, etc. étant quelconques , en une série de cette forme

.. y^ -i- B.x -^ x^ H -^3 ^ etc. H r-^— — ^» + etc.:

on aura ^ = (p^z, B = i}.(pa ^ C=j)^.(pa, et généralement ^a = D«.<p^,

en faisant varier B.a dans les dérivations et mettant b pour B.a , c pour d^^s,

d pour n^.a , etc. après les dérivations effectuées , ou en faisant successivement

dans les dérivations B.a = b , j}.b = c, d.c = d , etc.