y pour y, 1.2.3^ pour «^ , etc. 1.2... wa„ pour ccf
i.2Cpour C, 1.Q.3D pour £)' , etc. 1.1... n A ^ pour ^'„.
Mais on n'a pas besoin de ces détours ; il suffit de faire les dérivations sans
avoir égard aux coëfficiens numériques , 0 » etc. , et de mettre
ensuite
^pourD.a, 1. 2.y pourD*.» , 1. 2. 3 <î pour d'.» , etc. i.2...n«„ pour d".», jBpourD.^, Ï.2 CpourD*.^ , 1. 2. 3 /) pour d'.^, etc. i.2.../2^„pour d".^: car il est visible que ce second procédé revient au même que le premier. Ce qui donne cet autre théorème :
6 DUCALCUIi
Théorème.
Soit
(P(a5 ~I- C^ «4- y^* -H (^^' -4- etc. H- a„aî" -H etc. ) une fonction quelconque d'un polynôme quelconque ; pour la développer en une série de cette forme
A '\- Bx '\- Cx^ 4- Dx -H etc. -H ^a^" ^- etc. , on aura
A =. (pot pour le premier terme ,
•D.A = D. (pa pour le coefficient du second terme ; ensuite n^.A = D'.(p« donnera le coefficient du troisième terme,
■D^.A z= D^.(p« donnera celui du quatrième, et en général
D", A = D". cpoc donnera le coefficient de x" : pourvu qu'après avoir fait les dérivations, on mette dans les résultats jE'pourD. a, 1 . 2 y pojir D*. 05 , i. 2.3 J pour D^ «, etc. , 1.2... 72«„ pour d".^; ^pourD. ^, 1.2 CpourD*.^, 1. Q.3£)pour d'.-^, etc., 1. 2... /2^„pour d".^.
Corollaire.
8. Si l'on calcule successivement les valeurs des coëfficiens A, B , C, etc.
et qu'on fasse chaque fois les réductions, il suffira de mettre simplement i^pourD.flf, 2<ypourD. ^, 3 ^ pour d. y , etc. , /Z£^„ pour d. «„, , B pour D.^ , 2CpourD.^, 3i) pour d. C, etc. , 7z^„pour d. ^„j.
En effet , puisque de cette manière d. y , par exemple , =DfD. S'^d^ d*. «=
= D ' . a , on a 3$ = D^ « et 1.2.3 (J* ==;: n^.cc', de sorte qu'on subs-
titue équivalemment de cette manière 1. 2. 3 J" à la place dé »'.«, etaiijsi des
autres.
Il est visible que le coefficient numérique qu'on met devant la lettre qu'on
substitue , est le nombre qui compte les dérivations que l'on a faites sur Ift
lettre primitive ce ou A.
g. Lorsqu'on effectue les développemens , on peut se dispenser d'écrire des lettres affectées du signe d , en écrivant sur le champ celles qu'on doit leur substituer avec les coëfficiens numériques convenables; mais dans ce cas il ^s,t nécessaire die faire, observer aux coëfficiens des puissances x° y a-', x*, x^^
D E s. D É II I V A T I O N s. ^
etc. un certain ordre , par exemple l'ordre alphabétique , ou de les marquer par des indices ; il est avantageux que le nombre qui exprime l'indice soit le même que l'exposant de la puissance de Xy à laquelle le coefficient appartient.
lo. Quant aux règles qu'il faut suivre pour développer les dérivations indiquées par D.(p«, D2.(^a, D3.<pa, etc. j elles sont, pour les cas que nous traitons, les mêmes que celles que prescrit le calcul différentiel pour effectuer les différentiations d.(pa, à^.Cpoc, d^.(poc, etc. en regardant ce comme la variable, et àcc , de même que d^cc , d'^oc , etc. , aussi comme variables. Ainsi , comme nous supposons la connoissance de ces règles , nous n'entrerons à cet égard dans aucun détail.
Observons seulement que nous mettrons toujours à l'avenir une différence entre les notations jy(pcc, D^<pa, Tt^(pocy etc. sans points, et celles-ci, D.^pa, o^.cpoc, ■D^.(poc , etc. , où le signe d est suivi d'un point. Voici en quoi elle consiste.
Puisqu'on a
d.(Ba = — r-— X da, et d'^.(poc= ^-— X d^oc H -j^—- X da^ etc.,
^ dot ^ doc doc^
afin d'éviter les expressions fractionnaires, nous désignerons
d(bcc d^Ooc d30« . , ^ ^ o/* ^^ ^
y , ) --p-T-, etc. , simplement par D(pa, D2(pa, n^^pa, etc.,
sans points : ces quantités sont la même chose que les différens termes du développement de <p(« + i)» ^^ ^'^^ ^^^* abstraction des coëfficiens numériques, car en supposant a; = i dans le n.'' q , on a
(p(^cc H- i) = <pa -f- D<p« H d2(P« h -jP(poc H- etc.
Ainsi Dcpa , D^cp^, D^cp^ , etc. indiquent les dérivées successives de (^oc dans le cas où la dérivée de la variable a, c'est-à-dire d», est constante et égale à l'unité.
Les expressions D.(p«, D^.cpocy au contraire, indiquent les développemens D(pa X D.«, D(paî X D2,a + D^^C^oe X (d.«)2,
où la dérivée de « , savoir D.a , est variable et quelconque , développemens qui deviennent par notre calcul
Dcpa X C, ' D(pa X 1. 2y -h Tt^Çx X C^.
En un mot, (p«, D(pa, ^^ , etc. sont les coëfficiens des termes successifs
8 D U C A L. C U li
du développement de (p(a -i- ^) ; et q)oc , D.(pa, — -^ , etc. , les coëfficiens des
termes successifs du développement de (p(« -f- Çx -|- yx^ -+- ^x"^ etc. ).
On se servira aussi du point pour marquer jusqu'où s'étend le signe d ; ainsi, dans D.(p«.^, i5(p«.\|/<2, D.(pa.D.\[/<2 , le point après (p« marque que le signe D avant (poc n'affecte plus b^ ou \|y<2, ou T>,-^a. D'autres fois le point est employé à la manière ordinaire , pour distinguer les différens facteurs ou les grouppes de facteurs des produits.
11. Nous nommerons le premier terme (poc an développement , ou celui dont on fait dériver tous les autres , origine des dérivations.
Quand ce terme est donné , et qu'on a examiné lesquelles des quantités qui y entrent sont fonctions d'autres quantités , le reste ne demande plus d'autres raisonnemens ; tout se réduit alors à une suite d'opérations assujetties à une marche régulière et uniforme.
Quelquefois la loi des dérivations devient plus sensible , si l'on prend le second terme pour origine des dérivations.
Si le premier terme oc du polynôme avoit une valeur particulière , comme s'il étoit égal à l'unité , ainsi que cela arrive quelquefois , l'origine des dérivations deviendroit (p i , expression qui ne seroit pas commode pour en déduire les autres termes : on mettroit donc à la place de i une quantité qui auroit une valeur indéfinie , comme oc ; sauf à remettre , dans les résultats , au lieu de a sa valeur particulière.
12. Il est temps de passer à des exemples , pour éclaircir tout ce que nous venons d'exposer , et pour montrer la facilité de notre méthode.
Exemple I.^"^ On propose de développer la fonction
log(a -H l^x H- 7^2 | ^jc3 ^- 5 0^4 H- ^x^ H- etc.) en une série de cette forme
A H- Bx -4- Cx^ -h Dx^ -4- Ex^ -\- Fx^ -{- etc.
On aura d'abord A = log«, parce que , x poijvant avoir des valeurs quelconques , les quantités indépendantes de x doivent être égales entre elles séparément. De ce premier terme nous allons déduire tous les coëfficiens £y C, D, etc. par de simples dérivations, d'après ce qui a été dit n.° 8 et
suivans. J'en mets ici tout le calcul sans rien abréger.
DES DERIVATIONS.
A = lo^oc ; de là l'on tire par dérivation ,
B == T>. logftj = — — = or''Cf faisant une nouvelle dérivation , on a
ce
Q C = B.oT'^ = cc"'2.y — oc~^CSt réduisant
C = oi~\y — - — '^^ 't delà, par dérivation,
3Z) = oT^U — cT^l^y — - — .Qg'Qy -f. ^— é'.r, et réduisant,
H-^(3g'^3^-f- Q.3g'Qy^) — ?^^.3ry — — .4^'2y-i-i^ ^.^^, j j 4 4
jF= «-'.^ — ^Ke -+- Qy<^) -H ^(3C*(^-+" 3^y*) — ^. 4^^^ | ^.^^;
et ainsi de suite.
i3. La même méthode donne encore , avec une grande facilité , les coefficiens A ^ B ^ C^ D ^ etc. en termes récurrens, c'est-à-dire, par des formules dans lesquelles entrent les coëfiîciens précédens; formules qu'on obtient ordinairement par la méthode des coëfiîciens indéterminés, ainsi qu'on peut le voir dans le calcul différentiel d'EuLER , chap. viii de la 2.^ partie. Il suffira ici de regarder A et ses dérivées comme indépendantes de « et de ses dérivées, c'est-à- dire , comme n'étant pas fonctions les unes des autres.
Dans l'exemple précédent , on a. A z=: loga ; d'où l'on tire par dérivation ,
D. ^ = — — , et, en multipliant par a, cc^' A = d. «, ou bien ccB = Ç^
ce équation qui sert d'origine aux dérivations , et de laquelle on déduit ce qui suit :
A = loga;
B ce = ^; de là par dérivation ,
Q C« -f- BC = 2 y , et réduisant ,
Cm -^iBC=y;
ZDcc -H (X -H f . 2 CC-4- ^ ^Qy == 3 (J,
Dec -4- f CC-H l^y = <^; 4£aî-4- i5^-+- f 3£)C-i- y C2y-H|. 2Cy
-f-i53j= 4g, Eoc -H ^,DÇ-^^,Cy^^,B^=B',.
etc.
ro
•I> U C À li c u z.
De là on tire , en transposant
^ = loga ; £ oc = Ç ;
Dec = ^— ^By-^ 'jCC;
etc. , où la loi est facile à saisir. Exemple II.
