Soit proposé de convertî^^^i^ '^^ '^^^l^- ^*^i

sm(« -H Cx -f- ya;* -H ^x H-.gar -^ Xx * 4- etc.) en une série de cette forme:

A -i- Bx -h Cx^ -f- Dx^ -^ Rx\ -H i*'x' -Ht- etOJifiaad

;On c^rrrriTr.-. . lom ■ --y, if. .D}3 -f. *X\^ -f" ^-d + »

On aura d'abord A = sin^ , qu'on considérera comme l'origine des dérivations. De là on déduira ce qui suiti* i^iè'i^tt&qijoia'yèij 9iu&m al ■iiiiu;j.ùj tïb

A = sina ; 3 ,• "» == ^ s nO

^ z= cosa.C; )

:ii , w Jnstlâm frais Q C = cos«. Q y — sina. C* ,

C = cosa. y --C"-; -^ ^ -1" '■'

sin« Y ^ '^ cos«

3£) = cos«. 3^ — sinaCy — -^^. Q^Qy — ^^^^ C C%

•^ » sin« cosa -,,

D =COS0C.d .2g^y -n'C^'f

,17 • ^ f sin« . cosa e „ cosa

sin« / « k V cosa . ^ sina

j^ sincc / « h V cosflc n -, sina ^

et ainsi de suite.

1162 ' : 13 tr / G A li C U Le J ff

-Tîf»^* î^our trouver ceâ coëffiéiens en termes récurrens, je fois une première

dérivation sur A = sin« , .èe qui dQ!une«J5= cosa. 5"; mais, puisque je iBe

:^}S j^aSpSiibs^UfÇ^r.,p9pr^os^'ga^YaJ^uf^^^ ijU^ secondei^ dérivation, xqui

donne C j=r=!,co6x^. «y ■jtutn&fr^^ë^i aiitoiluaixt an^irueuant pour sin<^ et cèW

leurs H^aleursT'-i^^â --S-"}' OU ^ura l'équation

où il suffira de contiriiier lés dérivatioîns ; mais comme Ta loî suivant laquelle î^s^eifféi'êns termes se siSccèdent , ne se présente pas aussi facilement que dans les exemples précédeus j nous ne nous arrêterons pas davantage à ce cas.

i8. On pourroit , si on .leîjugeoit.à propos, pour s'exercer à ce genre de calcul , développer par le même procédé différentes autres fonctions du polynôme « -{- Çx -{- yx'^ -+- Sx^ + etc. ; nous n'y insisterons pas, parce que nous avons à proposer une manière encore plus simple d'effectuer ces développemens.

La méthode que nous venons d'exposer donne, par exemple, avec une grande facilité le développement d'une puissance quelconque 7?i du polynôme ce -\- Cx •}- yx^ + etc. + cCn^"j mais, comme nous appliquerons à ce cas ll^ méthode sim pli Cée , nous nous contentçroDS de faire voir ici la, manière de calculer le même développement en termes récurrens. ^q iii^Ci. ..fioi 7

On a A = cc'"j d'où l'on tire par dérivation B = wa'"~'Ô' = wa'"-, et en mettant A k la. place de «"* , B =^ mA--\ partant

oc * ^ 2 .^t:

Bec =771 A Ci, de là par dérivation,

'2C0C + BC = rnBC + m Ai y, transposant et réduisant,

Q Ccc = (tu — i)BC + '2mAy ', faisant une nouvelle dérivation ,

Q.3Z)« + qC^= {m — 1) 2CQ + {m — i)B<2y + amBy -f- 2mA3S, réduisant,

3 Dec = (w — 2)0^ + {im — i)By + 3mA^;

3.^Ecc + '3DC={m — 'i){3DC-\-Ciy)'\'{'im—i){'iCy + B3^) + 3ni{Bè + Aie),

^Ek = {m-^^ 3)DC + (qw — 2)Cy + {Sm-^ i)BS + ^mAei

OÙ

DESDléRlVATlOlfS. l3

OÙ la loi est visible , sans qu'on ait besoin d'aller plus loin ; et l'on aura pour F

5Foù = {m-4)EC + {2m^3)Dy + (377z-q)C(J + (47^-1)^5 + 5mAC

Ces formules sont les mêmes que celles que trouve Euler à l'endroit cité de son calcul différentiel.

Simplification de la Méthode.

19. Quoique le procédé dont nous venons de faire usage soit assez facile dans les premiers termes ; cependant , comme il fait calculer plusieurs fois des quantités composées des mêmes lettres , et qu'il exige des réductions relatives aux coëfficiens numériques , ce qui le rend d'autant plus embarrassant qu'on s'éloigne davantage du premier terme , on peut demander avec raison si ce procédé ne peut pas être simplifié au point de faire éviter toute réduction , et de manière qu'un terme quelconque étant donné et ordonné , on puisse sur le champ en faire dériver le terme suivant, déjà tout réduit et mis sous la forme la plus simple. C'est l'objet que nous nous proposons présentement.

TniéoRÈME.