Prenons la formule du n.*^ 22 , savoir

p'.Ça = p^cpa. C" ■+- p" - » (pa.D.C" - * H- p''-^ (p«. p-. ë""-^ H- etc. -H Dcp«.p«-».g'; les quantités polynomiales à développer se suivent dans cet ordre ,

Cd.^"-!, D^g'«-% ç3.^«~3, etc. p"-'.^, et les exposans de S* sous le signe d vont toujours en diminuant.

Pour faire dériver le développement d'une quelconque de ces quantités de celle qui la précède et dont le développement est connu , voici 1^ procédé qu'il faut suivre. 1.° Il est nécessaire avant tout de faire sur le développement proposé une préparation , qui consiste à diminuer dans chaque terme l'exposant de C d'une unité , à changer en conséquence les coëfficiens numériques qui proviennent des exposans de ^, et à rejeter les termes où ^

DESDÉRI^ATIONS. 35

n'entre pas. 2.° Après cette préparation , on fera les dérivations conformément à la règle du n.° 3o.

Cela suppose qu'ayant en général p'".C'^, on en déduise d'abord p*". g'''— », et ensuite p'" + ^ê''^~* de p'".^''— *. Si on donne à chacune de ces trois expressions un premier développement , on y lira la démonstration du procédé. En effet on a, n.®^ 25 et q6,

-H etc. -I- r^.p'"-'-+-'.y'"-» H- p'^-'.y'-, (i)

•4- etc. 4- (r- l)g'.p'«-^+2,yr 2 ^ ç;;z r4-,,yr-l. (3)

p«+i. ^'•- » r= (r - 1) g''- 2. p'».y -+- '^' ' g'- - 3. pm— i.y2|^" '^"^'^" ^Mp'«-2.y5 -4- etc. -H (r- 1 )^. p" — '•H-3.«y'-.-2 4 pm — r-f-o.^r— 1 (3)

L'inspection des formules ( i ) et ( 2 ) démontre la j .'^^ partie du procédé ; et puisque la formule ( 3 ) n'est autre chose que la dérivée divisée de la formule ( 2 ) , la 2..^^ partie du procédé est aussi démontrée.

42. Pour donner un exemple de ces dérivations , soit ^" = g^ ; on en déduit successivement , par notre procédé , 8C7.y, = D.^^

6^5.g+ Éi£g>4. 2 ya'-+- 5:^:4^5. y3, ^ ........ = p^.^s

SC^.Û H- 1;^ ^. i^yv -H 2^^ -H £^ ) -H ^^ (3y^^ H- 372^^^ -H ^3) , == p6. ^3

Le calcul dérivatif de ces quantités est si facile qu'il n'y a guère d'autre

Z6 DUCAIiCUL

peine que celle de les écrire ; car les coëfficiens numériques placés avant Ç sont ceux qui naissent du développement des puissances du binôme : il est donc très-aisé , en passant d'une ligne à l'autre , de les changer en ceux qui appartiennent à des puissances de 5" inférieures d'un degré. Dans cet exemple , je n'ai pas réduit les coëfficiens numériques , et j'ai laissé ceux de C séparés des autres, afin de faire toir plus clairement la marche des préparations. Rien n'empêche de réduire les coëfficiens ; il est même avantageux de le faire , pour la simplicité des expressions.

Quand on fait ces réductions , le changement à faire aux coëfficiens numériques , en conséquence de l'abaissement des puissances de C , pour passer du développement de p"*. ^'" à celui de p'".^'^~», se réduit à multiplier dans p'". C chaque puissance de C par son exposant et à diviser tous les termes par r. Cela résulte encore de la comparaison des formules (i) et (q) du n." précédent.

43. On peut donc prescrire , pour ces sortes de dérivations , la règle suivante :

RÈGLE

Le développement de d"*. ^'" étant donné, pour en déduire celui de pw-t- 1. ^'•— 1 j 1.*^ divisez toute l'expression par r, multipliez chaque puissance de Ç par son exposant et diminuez cet exposant de l'unité, en observant que dans les termes sans C cet exposant est zéro. 2.° u^près cette préparation , /aites les dérivations conjormément à la règle du n.^ 3o.

44. Exemple I. Trouver immédiatement le coefficient du 8.® terme du développement de (p(« -}- Çx ^ yx^ -+- etc.).

Ce coefficient est p7. (p« , qu'il s'agit de développer. On a d'abord, n.° 22, Ç7.(pa5 = p7(pa.C7 4- p^(p«.D.g'6 4 p5(p£^.p2.g»5 4- p4(p«.p3. ^4