p3(p^.p4.g'3 ^ p2ç,^.p5.^2 ^ D(pa.p6.g
on voit donc que la question se réduit à celle-ci : étant donné p7(p«. ê'7, c'est-à-dire, la valeur de p7. (p^ lorsque le polynôme se réduit au binôme 06 H- Çx^ déduire de ce terme tous les autres qui complettent le développement de p7.(pctf lorsque le polynôme a un nombre quelconque de termes.
En
DES DERIVATIONS. 87
En suivant la règle précédente , on a sur le champ
d7. (pa = B7(poc.^7 -+- B^(pX'OC^^.y
-H p5(p«(5g'4j -H io^3y2) ^ p4(paj(4g'3.g ^ 6^^ 2y§ -{- 4^y^)
-f- p 2^05(2^. >; -f- Qy^ -i- Q(Jg) H- D(p«.ô.
Exemple II. Trouver immédiatement le coefficient de x^ dans le développement de sin(cc H- Coc -t- yx^ -f- etc. ).
La formule du n.* qq donne ç<^.sin« = p6sin«tf.g'6 |- pSsin^^.D.^^ } p4sina.D2.^4-h D5sina.p^.5'^-HD2sina-p4.g^
H- Dsina. p5. C Or on a Dsinctf, =cosa , D^sin^ = — sina, D^sin^ = — cosa, D4sina = sin» , D^ sina = cos^ , o'^sina = — sin« : on a donc pour le premier terme
^S. On en déduit les autres par la règle du rf.° précédent , et l'on
trouve
sin» ^r. coscc ^ ^, . smcc
COSa ,„^ o« t\ -ZN SlTïcc
— ^'« (3^3.g ^ 3g>. 2y^ ^ y3) __ ?i!l^. (Qê".^-!- Qye H- S') -^ cos«.^. 1.2.J 1.2
45. En multipliant tous les termes par i. q. 3... tï , la formule du n." 22 devient
Dn. (pa =: D"<|)«.g'" ~+- D"— » (p«. WD. g*»— » -4" D« — 2 (p^. 7^(7^ - i) p2,g>/i— 3 H-
D«— 3(pa. 7ï(/z- i)(»- q) p5. g'«— 3 -H etc.
H- D(pa.72(/2-l).... 2. l.p"— ^g",
ce qui donne le moyen suivant de calculer immédiatement une dérivée non divisée d'un ordre quelconque.
Pour développer D".(p«, on a pour premier terme nncp^. Ô*", et l'on en déduit les autres en suivant le procédé du n.° précédent, à cela près qu'on omet les divisions , et qu'au lieu de prendre les dérivées divisées p''cp« » p" ■ * (P« , etc. , on prend les dérivées simples D"(pcc , d" - ^ Çic» , etc.
3^ .>>irrDUCAliCUL
Soit proposé, par exemple, de développer D^.cp* j on aura H- d4(P«.(6.5.4.^3.^^ Li±J^2.y2)
-j- D^cpoî. (6.5.4.3. g'^. g H Ç.'Xyè -\ ^5 7^)
"f- D2(pa.{ 6.5.4.3. Q.C.^ -H '^' '^'^ (2yg -H <^^)} -H D(p«. 6.5.4.3. 2.1.;/.
46. Il peut arriver que, ayant à développer p".(pa, on ne puisse pas avoir p^cp^-ê*" , parce que Bncpcc est zéro, de même que quelques-unes des dérivées inférieures ; ce qui a lieu lorsque la fonction est une puissance entière positive. Si l'on demande, par exemple, le 9.^ terme du développement de (ce -h- Cx H- yx^ -H etc. )5, on n'aura pas ç^a^.g'S^ parce que ^^C^= i , et que p^«5 est zéro , aussi bien que toutes les dérivées supérieures. De là il s'ensuit que l'on a, par un premier développement, p8.Qj5 = pSojS.pS.^Ô -+- p4Qj5.p4g'4 -|- p V. p^.^S | p2^5. p6. ^2 ^ Da-''.p7.g'.
Il faut donc avant toute chose avoir le développement de p^^^. p^.g'a^ afin de pouvoir ensuite en déduire ceux des termes suivans. On donne à cet effet un premier développement à d^. ^5 ^ et l'on trouve
pS.g-S — p3^J. y3 | p2^5. D.y2 | Dg'5.p2.y^
ce qui donne par la règle précédente, n° 43.
On écrit à rebours cette expression , et l'on obtient , en suivant encore la même règle ,
p8. «5 :=: 5^4. g H- iog'3. 27(^-1- log'^. y3
~H 5a{4^3.^4 6^2(2^5 -^ ^a) ^ 4g'.3y2^ -}- y4} H- iocc^{3Ç'\r] -H 3^^(27^ -f- 2jg) H- 3y2g ^ 3y^^} H- i0a3{2C.^ -H 27»; H- sJ^ -h g2} H- 5 «4.^.
DESDIsaiYATIONS. Sg
Seconde manière.
4y. Si l'on prend la formule du n.® qo , savoir
-g^'.cpec = Dcpa.p^-i.g'H- ç2(pc«.p«-2.g'2 ^ pScpa.p^-S.^S ^^ etc. H- p^cpa-g"»,
les quantités polynomiales à développer se succèdent dans cet ordre :
p'i-'.ê', p^-^CS p'-s.g'S, etc. , g"»;
La première de ces quantités n'est autre chose que la /z - i""* lettre après 6", (n.° Q7 ). Pour parvenir à faire dériver ces quantités les unes des autres, on observe que les puissances de Ç vont en augmentant et que les indices de D vont en diminuant, et qu'ainsi ces quantités offrent une sorte de dérivées inverses ; voici la règle pour en former les développemens par dérivation.
RÈGLE
Le développement de p'".C étant donné ^ pour en faire dernier inversement . celui de :d'"—K Ç''+^ ;
1° On fait d'abord la préparation suivante : on augmente de l'unité r exposant de chaque puissance de C, ce qui exige qu'on multiplie par Ç les termes qui ne contiennent pas cette lettre ; et on change , en conséquence de cette augmentation , les coëfficiens numériques qui proviennent des puissances de C ' opération qui se réduit à diviser par chaque exposant de C, ainsi augjnenté de l'unité , et à multiplier tous les termes par r -+- i .
2.° On exécute sur les termes ainsi préparés la règle du n.^ 36 , et l'on obtient tous les termes de :g'"—^.C~^^ qui contiennent C
3 ° Pour avoir les termes dans lesquels C n'entre pas , on change Ç en y dans ceux des termes que l'on ayient d'obtenir où Ç n'est qu'à la première puis- . sance , en ayant soin de diviser par les exposans des nouvelles puissances €jui se forment ; après cela , on applique la règle du n.^ 36 , et l'on a tous les termes ou entre y sans Ç.
On change y en § dans ceux des termes que l'on vient d'obtenir en de? nier lieu oii y n'est qu'à la première puissance , et l'on applique de rechef la règle du 72.° 36.
On continue ainsi jusqu'à ce qu'on obtiendroit des termes oii la dernière lettre seroit antérieure^ dans l'ordre alphabétique , à celles qui la précéderoient dans le terme.
4o DtrcAiiCUL
Ainsi de p7.^=/, par exemple, on déduit au moyen de cette régie toutes les autres quantités polynomiales qui entrent dans le développement de p^.cpa, comme il suit :
= py.ff
^^^.;/ -4- 3^.(2^^ + sjg) H- lllll H 3yJ% . . ■ . = p5.^3
7^^.y, = D.Cr
On fera bien de réduire les coëfficiens numériques , que nous n'avons laissés tels qu'on les A'^oit que pour mieux indiquer la marche du calcul.
48. Pour démontrer la règle , prenons les premiers développemens de p'".C'" et de D"* — ^C + ' , savoir (n.°^ 25 et q6 ) :
p'".g'^ =: /'g'''--i.p'» — '.y -H •g^-g.p'» — g.y^ -H ' " ' " g^ — ^.pw-S.yS
H- etc. H- rg". p*" — »"+'. y'"— 1 -f- p*" — ^ y'" , • (l)
pm-i^r+i (r+l)g'''.p'«-2. y -^ ^ "^ ^ ' ^ g"' N p^'-^-y'^ -f- ^ ^'^'^ ^ C"'^. P'"-^.'/^
H- etc. H- (r + 1) é*. p'"-''-ï. y'' -f- p'»-'-^. y'-H-» (q)
En comparant tous les termes de la formule (q) , à l'exception du dernier, avec ceux de la formule (1), on a la démonstration de la 1." et de la q.'^* parties de la règle.
Quant à la 3.® partie , elle n'a lieu que lorsque r est <[ ou = m — q ; car, si r est >► 77^ — q , le développement de la formule ( Q ) a pour dernier terme celui dans lequel l'indice de d qui affecte y est zéro , et tous les termes où cet indice seroit négatif en sont exclus ( n.® 26 ) : ainsi lorsque r est ^ m — 2 , tous les termes de la formule ( q) contiennent g*, et le dernier terme pw- r-a, yr-t-i n'cxistc pas. Mais dans les cas où ce dernier terme existe , la
SESDIÉRIVÀTIONS. 4l
3.* partie de la règle enseigne à en former le développement d'après celui du terme précédent (r + i)ê'. n'"' '' " '•y'^ de la même formule (2). Pour le démontrer , il suffit de comparer ensemble les développemens en S de ces deux termes, savoir (n.*^^ 25 et q6) :
-+- etc. -+- {r + l)r^y.p'»-2r. ^r-i ^ (^j. 1) g", p^-ar- 1. j^r^ , ^3J ^m-.r — 2^yr+ i = (^r + l) y^p'" — '" — 3. ^ ^ r -jr 1. r yr— i,pw — r — 4. ^a
►H etc. -H (r+ l ) «y. p'^-^r— a. J»- | pm — ar~3. ^r+i. .,. (^)
Or, cette dernière formule (4) se déduit, au dernier terme prés, de la précédente ( 3 ) , en changeant dans celle-ci ê" en «y, en ïïîvisant par les exposans des nouvelles puissances de y , et en faisant ensuite une dérivation inverse sur les quantités affectées du signe d. Quant au dernier terme d'"-^'-^. j^'"+i de la formule ( 4 ) , il dérive d'une manière semblable du terme précédent (r -f- 1) «y. p*"- =^'■-2.^*'' de la même formule; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu*on arrive à des termes où l'indice de d devienne négatif. Ce qui présente la démonstration de la 3.* partie de la règle.
49. Exemple I. On propose de calculer immédiatement le 7." terme du développement de <p(<»-+-ë'^-Hyx2-f-etc. ).
Le coefficient de œ^ est p^. cp» ; or on a , n." 20 ,
p^.Cpa = D(pa.p5.^-j- p2(pfl;. p4.^2 ^ p3(p^.p5.g'3 ^ p4(pa.p2.?4 -f- ^^(pc^T>.C^
-H p^cpoî. C^ , OÙ le premier terme est D(pa.p^. C='D(pcc.tj; de ce premier terme on déduit les développemens de tous les autres au moyen de la règle du n.° 47 , et l'on a
p6.(p^ dç,^.^ ^ p2(;p^. (2^.^^, Qyg f Ij) -I- p3(p«.(3g'2.g -^ 3g*.2«y(^-4-y3)
-f- p4(pa. (4g'3. j^ -f- eC^.y^) H- p5(p«. 5e'4.y H- ^G^x.Ç^,
On peut appliquer la règle aux différens termes du développement du n.* 53', chacun en fournit un exemple particulier.
Exemple II. Trouver le coefficient de x^ dans le développement de Ioq{ 06 -i- Cx -j- y x^ ^ etc.).
Là
On a d'abord, n.° qo ,
<^' ^ X f». . OC'^ « 1CX OC' ^ 1^1 K'^
et , en appliquant la régie ,
5o. Il est trop facile de développer immédiatement par cette seconde manière une dérivée non divisée d«. (p a , pour que nous nous y arrêtions ; car , en multipliant par 1.2. 3^„7i la formule du n.® qo , elle devient D». (pfl5 = 1. 2... «DCpa-p^-^g" -h- 3.4... ^ZD2(pa. p''"^.^^ ^ 4. 5... /2D3(pa.pn-3^5
-h- etc. -H 72D''-»(pa. D. C"-' -H D"(pa.C", où les quantités polynomiales se développent par la règle du n.° 47»
La seconde manière fait trouver les termes qui composent le terme cherché de la série dans le même ordre qu'on les a trouvés n.° 33 ; la première manière les donne dans l'ordre inverse.
5i. Nous croyons devoir rappeler ici un moyen dont nous avons déjà fait usage , n.® Q 7 , et qui peut servir dans d'autres occasions.
En prenant pour guide la formule du n.° 20, on peut faire des développemens successifs, d'abord en Ç, puis en y, ensuite en j*, etc. Ce procédé peut être employé avec avantage lorsque le polynôme n'a qu'un nombre de termes déterminé et peu considérable, ou lorsqu'on demande une dérivée d'un ordre peu élevé.
Un exemple va éclaircir ce que nous venons d'indiquer. Qu'il s'agisse d'avoir le 7.^ terme du développement de la fonction du quadrinome (p ( ce -h Cjo -+- yx^ -H èoc^) '• on a d'abord , en faisant un développement en é*» p6.(p«=:D(pa.p5.^4^ p2(pa.p4.C2H-p3(p^.p5.g'3 4>p4(pe». p^.C^H-pS^p^.D.^S
faisant actuellement le développement en y , on trouve
Ç^-CPa = D(P«g^.y 4- p^(pa. (2C p^.y -4-p2.y^) -f- P^(P«. (3e'^.p=.y -f- 3^D.y2 |y5y ^ P^<P«. (4C3n-y -H 6^2.72) -f- p5(p«. 3^47 H- p^cpa.C^; d'où l'on rejette D(pctf.D4. 7, 2ê'p3. y, 3Ô'-g2,y^ parce que g^. 7^ P^-y» P^-Y
DBSDÉRIVATIONS. 4$
sont les 4.*, 3.', q.* lettres après y respectivement, lesquelles sont zéro , à cause que dans le quadrinome , $ est le dernier coefficient. Je fais à présent le développement en J^, et j'ai
p6 (pa = p2(p^. ( QyD. <f + ^2) | p3(p^. ( 3 ^^2 y^^ y3) ^ p4cpa5. {\Ç^^ -H ôg'V)
-+- p5(P«.5C^y -f- p^cp^^.C^, et , en rejetant encore d. <î == g , j'ai le développement demandé.
Remarques.
62. Les quantités polynomiales C, d.C"-', p^. g*''-^, etc. peuvent aussi se former par les combinaisons , quoique d'une façon moiçs facile et moins analytique que par les dérivations ; il ne sera donc pas inutile de faire connoitre l'accord des quantités polynomiales avec certains résultats que l'on obtient par les combinaisons , afin que dans l'occasion on puisse comparer nos formules avec des théorèmes auxquels différens analystes sont parvenus par les combinaisons ou par d'autres voies.
L'expression désigne le coefficient du ?ra -H i« terme, dans le développement de la puissance n du polynôme ^ -f- ycc -+- ^x'^ -|- gx^ -H etc.
Or , n étant un nombre entier positif , on démontre par la théorie des combinaisons (*), 1.** que ce même coefficient est formé de la somme de tous les produits qui peuvent être représentés par
Cp. yi.S'.s' ,
Pi Ci ^) ^ étant des nombres entiers positifs ou zéro, et tels que
p -h- ç -h r -\- s -\- etc. :=: Ai,
^-l-Qr-[-35H- etc. = m ; a.* que chacun de ces produits a pour coefficient numérique
1. 2. 3... ^X i.i... ^X 1.2... rX 1.2... SX... ' eu bien , c,e qui est la même chose ,
n(n- 1 ) {n-Q)(n-3)....(p + 1) 1.2... y X 1.2.3.. rX i.2...^X... *
Ainsi, en prenant le signe f pour désigner un assemblage de termes ou
C) Voyez, VJrs conjrctandi de Jacques BBaiïoULii , partie II, chap. VIII; et HutBBKBUfio , Infinitinomii dignitatum hùtorùif leges ac Jbrmul<e.
44 » u. c A li c u I.
produits ajoutés les uns a]^x autres ( * ) , on peut représenter le coefficient de x"* dans la 7^'^'"* puissance du polynôme, par
^ "("-■) (»-^)-(/'+^)(PH-t\ ç, j . __ 1.2.... qX 1.2... rX i.Q... ^X...
Nous aurons donc toujours
l.2...m 1.2.... ^X 1.2 — rX 1.2... 6X ... '
oii p ^ q -h' r -{- s = n, et ^ -h 2 r -H 3 j = 7/i ; ce qui est la relation que nous voulions faire connoître , et que l'on peut encore énoncer de la manière suivante.
Les lettres C, y , J", etc. ayant pour indices ou quantièmes respectifs i, 2,3, etc. , c'est-à-dire , ces lettres étant représentées par a, , «^ , «^ , etc. ;
'■ OU D"». C"^ indique la somme de tous les produits différens composés
chacun de n lettres (les mêmes lettres pouvant être répétées), sous la condition que dans chaque produit la somme des indices de toutes les lettres soit égale hn -\- m ^ et qu'on donne pour coefficient numérique à chacun de ces produits la quantité qui exprime le nombre des permutations que peuvent recevoir les lettres qui forment le psoduit, en ayant égard aux lettres répétées.
Au moyen de ces indices , la recherche des produits peut se ramener à cette question sur la partition des nombres : connoissant le nombre entier n -\- m y trouver toutes les manières différentes de le former par l'addition de n nombres entiers plus petits (**).
53. Puisque dans le produit C^. yi. (î^ a* . . . . le nombre des permutations
des lettres est — ^^ — " " \r 1 ^ s'ensuit de 1^ une manière
