çX 1. 2... rX 1. 2... JX
de vérifier les coëfficiens numériques de chaque terme des quantités polyno-
D2 Çn-2 jjS g'/i-3 ,
miales D C^'S — '- , — '■ — 7, etc. développées. Si javois, par exemple, à
vérifier le coefficient de C^ y'^ ê» je ferois la somme des exposans 3 H-2 -i- 1
= t> = n, et 1 aurois = 60.
(*) £uLER se sert souvent du signe f dans le même sens.
(**) On peu t voir dans l'ouvrage cité U manière dont le Professeur Hindedbvivc a réiolu ce problème.
Les
nESD]ÉniV*ATIONS. 4^
54. Les notations dont nous nous servons , malgré leur grande simplicité, puisqu'on n'y emploie qu'un seul signe particulier d , ont différentes significations qu'il convient de faire remarquer.
1° Elles sont des signes de coëfficiens. Considérées sous ce rapport, elles indiquent non-seulement le quantième du terme, mais encore la nature de la fonction du polynôme au développement de laquelle ce terme appartient.
m /oB
Ainsi — est le coefficient du ttz -H i'^""* terme du développement de
(^l- yjc -f- ^x^ -f- etc.)"; — '- — signifie le coefficient du ii*^ terme de
sin (y -I- (î^r -f- sx^ etc. ) développé.
a.° Ces notations représentent une série entière par un seul monôme.
3.° Elles sont des signes de dérivations. Ainsi la notation — — — exprime ,
par D'" , une suite d'opérations assujetties à la même loi , et répétées m fois ; elle exprime de plus , par le rapport de d avec le d des différentiations , la nature de cette loi, ou le genre de dérivation approprié au cas que nous traitons.
A.° Enfin d. C^ , — — , — '■ , en particulier , peuvent encore être con-
sidérées comme des signes de combinaisons , ainsi qu'on l'a fait voir dans le numéro précédent.
Il me paroit donc que nos notations réunissent tous les avantages qu'on puisse exiger , ceux d'être très- simples et très- caractéristiques.
§• IV
Application de la Méthode h différens cas généraux.
55. Les applications que nous allons faire à quelques cas des plus étendus, feront voir que la méthode n'est pas bornée à ceux qui ont été traités précédemment ; mais qu'elle est digne d'attention , non - seulement par sa simplicité , mais encore à raison de la fréqueiMe de ses usages dans l'analyse. Nous avons déjà fait la remarque ( n.° 11 ) que dès qu'on a observé, dans l'origine des dérivations ou dans quelques-uns des premiers termes du développement, quelles quantités sont fonctions d'autres quantités, le reste du développement n'est plus qu'une opération presque- mécanique j c'est ce
qu'on verra avec plus de clarté en suivant les calculs des exemples dont on va s'occuper. Ce paragraphe est principalement destiné à faire contracter l'habitude de lire dans la fonction proposée et non encore développée , ou au moins de pressentir quelles quantités sont fonctions d'autres quantités , et comment elles le sont. Nous aurons d'ailleurs occasion d'y mettre nos procédés dans un plus grand jour , et de les généraliser à quelques égards ; et nous terminerons le paragraphe par des observations sur les diverses formes des polynomes.
Problème.
56. Les signes (p et -^ indiquant des fonctions quelconques , on demande à développer d'une manière générale la double fonction
(p\[>(<2 -H bx H- c:c2 -4- dx'^ -+- etc.) en une série de la forme ^ >'
^ Hr Bx H- Cx^ -+- Dx^ -H etc.
Si on considère la double fonction (py^/a comme une seule fonction Fa^ la dérivée de a étant b , on trouve par la règle du n.° 3o,
£ = -DCp-^^a.b j
D = i)(p-^a.d ^ -g^Cp^a. abc ^ B^(p^l/a. h^f
etc.
Mais il est facile de donner aux quantités qui portent le double signe <p\(/ un développement ultérieur; pour cela on observe que dans (p\p« on peut considérer -^^a comme la quantité variable de la fonction (p , et qu'ainsi d. (p'-^a est = Dcp\|y«. D.-vj/^ , où il faut distinguer D(p\|/^z de T>(pypa; dans DÇ)\|/a c'est \|y^ qui est la variable , dans DCp\[/^ c'est a ; et , puisque d'ailleurs D.\|/â5 = D\p<2. ^, on a. ■D.(p-^a = D(p\|/^/. D\|>âr. ^. Maintenant, comme cette dernière expression a trois facteurs , on peut l'envisager sous deux aspects , ou comme partagée en ces deui^acteurs ixp-^a et dv|/^. ^ , ou comme partagée en ces deux autres TiCp-y^a.n-^a et b; ce qui donnera deux sortes de développemens , qui reviennent au même pour le fond , mais qui diffèrent pour la forme. On aura de la première manière , par la règle du n.^' 3o ,
DESD^niYATIOKS. ^
B = DCpxl^û-. [D\p/7. ^] , '
etc.
En considérant D(p-vJ/^. D\J/^. ^ sous le second aspect, la même régie du n.® 3o donne encore
C = [d(P\|/^. D\J/«]. c -f- [■D(p^^a.■D^^^a -h t)* (p \[y ^. Cd \p ^)2]. ^* ,
D = [D(p\p«. D\p«]^ -f- [d ^vl/^. D2\P« -I- D2(pv(/«. (d-v^^)-]. Q ^C
etc.
On voit que les quantités que nous avons renfermées entre des parenthèses angulaires sont des développemens sujets eux-mêmes à la règle du n.° 3o, et que par conséquent on y fait'des dérivations, non-seulement sur chaque dernier facteur, mais encore sur le pénultième lorsqu'il est suivi de sa dérivée immédiate. Ainsi, dans C, d (p y^ a. b-'\^ a donne seulement D(p \pâj.p3^fl^ ^; mais p2^\}/<2. (d\J/^)2 donne les deux termes ^-(p-^a.Qjyy^^aB^-^a.b -H y^ip-y^/a. (^D-^a)'^. b y à cause que la dérivée immédiate de -vj/^z est D\[ya.
67." On peut vérifier ces développemens de la manière suivante.
On fait d'abord ' \
-vp ( a + ^ jc 4- cx^ -+-djc^ -\- etc. ) = Ci-^hx^cx-'^-i)x^-\- etc. , où a = \[/<2 , et b/ C/ b/ etc. sont donnés par le n.° 33 ; actuellement (p\|/(a + bv + cx2 -|- etc. ) prend cette forme cp ( « + hx + cx^ + etc.), dont le développement est encore donné par le n." 33. Il suffira donc de substituer, dans ce dernier développement, les valeurs de a f b/ C/ b/ etc. en ^z, Z», c, d, etc. données par le premier développement; et l'on trouvera les dernières ou les avant-dernières formules ci-dessus , suivant qu'on ordonnera par rapport à ^, c, ^, etc., ou par rapport à ixpyl/af P^^iJ/^^ etc.
du calcui.
Exemple.
58. Si l'on avoît à convertir en série la puissance quelconque n d'une fonction quelconque de polynôme,
{^■^{a ^ hx -^ cx^ -f- dx"^ -f- etc.)}"; on auroit par dérivation , n.° 3o , le développement suivant , où je mets a au lieu de \p ^ , pour plus de simplicité ;
ft«-a[(Da)2.a^c -H QDa.p2(j.^3]
etc.;
ou bien , en ordonnant autrement ,
[72a«-'. Drt]. r/ 1^3
etc.
