Soit proposé de convertir l'expression suivante
(p {<2 -H xvpC^ -t- ex -i- dx^ -f- etc.)}, dans laquelle entrent deux signes de fonction , en une série de la forme ^ -H ^jc -H Cx^ -f- Dx^ ■+- etc.
En
DES D^niTATlONS. 49
En suivant la règle du n.® 3o , et en faisant d. « :== xpZ', on trouve surle-champ par des dérivations successives :
E = d(P^.[d-4/^. e -Hp2^3.Qcc? H- ç5\)/^. c3]
jF = D(p«.[Dv|>^./-l-p2-J>^.(Qce-H^2)^ p3v(/Z». 3c2//-f-p4^Jy^.c4J
-H p3(p^z. [3(\)/^)2.D-v)/^. ^ -f- [3(x|yZ')2p2^^ H- 3 -J/ 7^ (d ^^3)2] c2] ^ p4(pâ^. [4(v|/Z')3.D'v|/^. c] -H p5(ptf.(>J/^)5
etc.
Il faut observer que , de même que dans le problème précédent , les quantités en b , que nous avons renfermées entre des parenthèses angulaires , doivent étfe considérées comme des développemens sujets à la règle du n.° 3o ; et qu'ainsi, pour prendre la dérivée d'un de ces développemens, il faut y faire une dérivation non - seulement sur chaque dernier facteur, mais encore sur le pénultième , quand celui-ci est suivi de sa dérivée immédiate.
6o. Si on doutoit de l'exactitude de la solution , il seroit aisé de s'en assurer de la manière suivante. On feroit
\)>(^ -h ex -+- dx^ -f- etc. ) = b -4- c^ -+- b^^ -H etc. , et, en substituant, la fonction proposée prendroit la forme oç^inaire • Cp{a -f- bx -H tx"^ -H ba;5 4- etc. ) ; , on auroit donc , n.° 3o , u4 = (pa , B = ixpa.h , n C = jxpa.c -f- p2(ptf. b»,
D = T)(pa.b -H p^^^- 2bc -+- p3<p/a!.b5,
E = ncpa.i -h- ^~q)a.('ihb -^ c^) -+- p3(pa. Sb^c -4- p4(p/2.b4,
etc. JK
Or, on a pareillement , n.® 3o , .
etc.
Il suffit de substituer ces valeurs de b / c / & / etc. dans celles de j5 , C, Z) , pour avoir les résultats précédens.
On a généralement pour un terme quelconque,
-H ç« Ç)ûr.(v[/^)«, ou , en écrivant la formule à rebours , ^^ = ç"(p^.(\|y^)" -H ç^-'cp^.D. (\J;^)«-^ -H p«-2(p<z.p3^(v)y^)«-2 ^ etc.
on développera ces formules par ce qui a été dit n.** 5 8 et les règles du §. III. Il n'est pas plus difficile de développer cette expression
Ç {a -h a?\|/[^-+-^F(cH-Ja? -+- eœ^ --}- etc.)]} où entrent trois signes de fonction , non plus que celle-ci Ç) {a H- i^oc •+■ a;2\|y( c •+- dx •+- etc.)}.
( II
Problème, 6i. Soit
a -^ hjfX -^ Ctf' o[;^ -H ^tt"^^ -H €7r"'oc^ 4- etc,
où :t = \K ê" -f- y ^ -4- Sx^ ■+- etc. ) , tt' = ^jy'(^ 4- y.x H- <Ja;2 -f- etc.), tt" = \|>"(^-f- y:c -f- (^^2 4- etc.), etc. ,
■vp » *vp' î •J'" ) etc. étant des fonctions indépendantes les unes des autres , ou liées entre elles par une loi quelconque ; et ^ , ^ , c , ^ , etc. étant de même des quantités indépendantes les unes des autres , ou liées par une loi ; on demande à convertir l'expression proposée en une série de la forme #,
^ H- j^x -h Cx^ 4- Dx^ -4- etc.
DESDiêniTÀTioirs. 5a
On a d'abord
;j' = \L^ -4- D. \Lê*. X -H '^ '"^ ' x2 H- " •'^^. a;5 4- etc. ; ^ ^ 1. s 1. 2. 3
et, pour avoir tt', tt", etc. , il suffit de marquer \[/ d'un , de deux, etc. accens. Substituant donc ces valeurs de it ^ 7t\ tt" , etc. , et ordonnant par rapport à œ , on trouve
-^ -h ^a; H- Cx^ -\- Dx^ ■+- etc. =
a -H ^. -vlê*.^ -H if.T>.yLC'X^ 4- ^. — ''^' x^ H- ^ — ' "^ ' a;4 4- etc. ^ ^ 1.2 T. 2. 3
-^ d.-^f'C^x^ ^ d.iy.-^"C^x^ ■+- e.yQ.x^ et on aura pour un terme quelconque , ^„ = Z^.D^-i.-vlyg" 4- cp«-2.x|/'g' H- ^.p«-3.^)y"^ -f- e.ç«-4^(,'"g' H- etc.
formule qu'on, écrira à rebours , si on le juge à propos.
On peut encore généraliser ce cas en supposant que les polynômes sous les signes de fonction -vj/ , \j^', \|y", etc. , au lieu d'être les mêmes , soient différens et quelconques, c'est à-dire, en supposant
7f = ^|/(C H- y^ H^ ^x^ 4- etc. ) ,
7p' = ^I,'(g'' 4- y'x ■+- S'x^ 4- etc.),
Tp^' = •J>"(C" 4- y" a; -H (î"a;2 4- etc.), . etc. ;
et l'on aura en général , pour un terme quelconque , *
y4n = ^.p«-^^^^ 4- CD» -2.^/^' ^ ^.p«-3.^''^" 4- e.p«-4.^|,"'g•'" 4- etc. \ 4- ^„.^^'''V'^'''-»^
Les développemens et les dérivations s'exécuteront par des applications faciles des règles données dans les §§. II et III.
Le problème traité dans ce numéro est, comme on voit, dune très-grande généralité.
5d DvCAiiCu;.
Exemple.
62. Pour donner un exemple compris dans le cas général que nous venons de traiter, soit
a -4- b.x{^Q -h yx -H Ix'^ -f- etc.)'" -H r. :r2 ( g* -f- yx -f- Ix^ -+- etc.)^«»
-+-. d.x^{Ç -\- yx ~h ^x^ -j- etc. )3'« -j- etc. à convertir en une série de cette forme
A -h Bx -t- Cx2 -4- £)cr3 H- etc.
En comparant avec la formule du n.° 61 , on a le développement suivant:
etc.
J.D. ê'Sm
et pour un terme quelconque
^„ = Z». p" - ». ê''» -h c.p"-2. g'2« -f- J. p«-3. g'3m ^ etc. En développant ultérieurement par dérivation, on trouve sur-le-champ,
£ = hX^,
C = b.mC^-^-y -4- cff^w^
JS = b.{mC"'-^s H-
^'«-^. Qyé^
c. ( Q TTzg'^'»- 1. (î H ^^^ — ^^ g**»» 2^2^ ^^ ^.3 771 g'Sm - 1. y ^ e. ê'4"»,
et ainsi de suite.
63. Il est essentiel de faire ici une observation importante, et dont Uapplication est très-étendue. Si on regarde a comme une fonction d'une quantité dont ^'" est la dérivée , c'est-à-dire , si l'on suppose a = (p^et d.« = C"; que , de plus, on considère b , c, d ^ etc. comme égales à D(pa, p^(pa, P^^«> etc. : on trouvera, en suivant uniquement la règle de n.° 3o , les mêmes valeurs de A,B, C, Z), etc. , qu'à la fin du n.** précédent ; ce qu'il est facile de vérifier j et ce procédé est tout ce qu'on peut désirer de plus simple
pour
DBS DÉRIVATIOWS. 55
pour écrire sur-le-champ le développement , en faisant dériver les termes les uns des autres. Il s'étend avec de légères modifications aux cas généraux du n.° 61.
Cas particulier.
