Si l'on avoit

bx cx^ dx^

Ç-\-yx-\- Iv-^ + etc. (C + yx + ^x^ + eLc.)^ ^ (C+ yx + etc.)^

à mettre sous la forme " ^ .

A -^ Bx -f-.C^2 ^ £>^3 ^ etc. ,

il suffiroit de faire m = — i dans le développement ci-dessus (n.° 62 ) ; mais en mettant en usage l'observation précédente , on aura les résultats suivans, d^près la seule règle du n.** 3o , savoir, en supposant a = (pcc et d.« = 5""',

B = hX",

C = — b.C-^y -h cC-^y

F = b.{ — €-^^-^ C-H'iys H- ^) — C-^3y2j-4- C-^y^}

-H c. ( — sC-^e ^- 3^-^Qyj^ — ^C-'y^) ~h d. { — 3^-4^ ^eÇ-^y^)

et ainsi de suite. On a pour un terme quelconque

^„ = ^.p«-i.^-ï -f- c.ç«-2.g'-2 -+- ^.p«-3.^-3 -t- etc. H- b„.^,Ç-".

(III

65. Les substitutions des séries dans les séries offrent des exemples remar* quables de la manière dont il faut considérer certaines quantités comme fonctions d'autres quantités.

Problème.

Soient proposées les trois séries

« = 2Ï -H 857 -f- G72 t- .t)/5 -h- etc. , y z= hx -h- cx^ -4- hx^ H- tx^ -h etc. , X =: ùv -h- cç>2 -1- dv"^ H- 6(^4 -f. etc. ;

DU CALClTIi

on demande à exprimer z par une série en v , de cette forme ,

Je substitue d'abord la valeur de y dans la première série , et j'ai g == 91 -H a5a;(b -f- ioc -h t)a;2 -}- etc.) -^- (Sx2(b -|- co; -h bx^ -f- etc.)^

H- X).x3(b -4- ca: 4- ba:2 ^ etc. )3 -}- etc. ; on regardera donc 95 comme = d^U , et 2Ï comme fonction d'une quantité dont b est la dérivée, et l'on aura (n.** 63)

eb^

95D2.b en.b^ h ©b3

etc.

série que nous représenterons ainsi

2 = 21 -H «S'.x H- (ê!.x^ -f- .t)'.ar3 j etc. Substituant actuellement au lieu de x la série qui lui est égale , on a

2 = Oï -H a3'ç^(^ H- cç' -H clv^ H- etc.) ce qui donne encore (n.'' ^'h)

^v^{h -f- cç^ -H ^^^^2 | etc.>2 et' 4- ^^2 -H etc. )3 4- etc. ,

etc.

De là découle la solution suivante. On cherche d'abord la valeur de B : pour cela, on se contente de substituer les premiers termes des séries de ^ et de a; dans 93 x , et l'on trouve ainsi S5jk =: 93bx = 95b^t^; donc B =: 95 b^. En faisant les dérivations, il faut considérer le produit 95b comme fonction d'une quantité qui a b pour dérivée ; et ensuite 95 , dans 95 b, comme fonction d'une quantité dont b est la dérivée,

Ces considérations et la règle du numéro 3o suffisent pour déduire les uns des autres tous les termes de la série demandée, On trouvé ainsi

C :;p; 95bc -f- (58c H- ab2)Z'2j ^ =; 95W^ -H (25c 4-. (5b2)Q^c jK ;=; 95M H- (93e 4- ^\i^){%hd

etc.

(Sqîx

(5Sb

Db3)3^3e

S(Qbt>'-

DESDÉRlVATlOîfS. 55

Il est facile de continuer ; mais la loi se voit mieux si l'on ne développe 1^ pas entièrement et qu'on se contente d'écrire

B = mi^,

C = 95bD.^ H- (25D.b H- gb^)^^

D = 23bp2.^ -{- (95D.b H- (ih^)Ty.b^ ~H (SSp^.B -H (io.h' -f- SJb^)^?^ £ = 58bp3.^ l^ (ISD.b -+- €b2)p2,^2 f («sp^b -f- ^D.b^ -h ©b3)D.^5

-f- (S5p3. b -f- ep^. b2 -j- ®D.b3 -H e-b4}M, etc. De là on conclud aisément la formule pour un terme quelconque w^^.