VJ !> R É F A C E

de combinaisons calculëes d'avance , ni de moyens en quelque sorte mé^caniques ou fondes sur la disposition des cases de certains tableaux, pour former les groupes des quantités polynomiales.

Quant à mes notations , elles sont simples , expressives et en très-petit nombre.

J'observe encore que les problèmes de développemens difficiles et compliqués , savoir ceux qui concernent les fonctions quelconques de deux ou de plusieurs polynômes simples , et ceux sur les fonctions d'un ou de plusieurs polynômes doubles , triples , sont ici résolus pour la première fois ; personne que je sache n'ayant encore donné de méthode pour former dans ces cas les développemens complets et réduits. Ces matières occupent la fin de l'article second et tout l'article troisième, et ailes exigeoient , si je ne m'abuse, quelque attention et quelque adresse.

Les articles qui suivent le troisième sont destinés principalement à offrir des applications et des usages des formules et des règles trouvées dans les trois premiers. Ces formules, d'un côté, fournissent de nouveaux moyens de résoudre différens problèmes , qui ne pourroient être résolus qu'avec plus de difficulté par d'autres voies ; de l'autre côté , elles servent à rapprocher et à réunir sous un même point de vue des solutions connues , mais fondées sur des principes différens et présentées sous diverses formes.

L'article quatrième contient l'application des méthodes et des formules de dérivation à l'expression du terme général des séries récurrentes, dont on connoît l'échelle de relation.

Les séries récurrentes simples n'ont point présenté de difficulté. De réquation de relation j'ai déduit la fraction génératrice de la série , ensuite , de cette fraction , le terme général. Cette analyse, qui est la plus rapprochée de la marche ordinaire , m'a paru la plus féconde en conséquences. Les dérivations donnent des formules et des développemens pour le terme général , soit qu'on laisse le dénominateur de la fraction génératrice tel

PREFACE. ^j

qu^on le dëduît de F^uation de relation , soit qu'on le dëcompose en ses facteurs binômes.

Les séries récurrentes doubles et triples ont présenté , surtout dans la détermination de leur fraction génératrice , des difficultés que j'ai au moins fait sentir , si je ne les ai pas surmontées : aussi - bien je ne donne la méthode pour les séries récurrentes doubles que comme un essai que d'autres efforts pourront porter à plus de perfection ; dans l'état où je l'ai laissée , elle a donné des solutions , souvent assez faciles , de plusieurs questions relatives aux séries récurrentes doubles , que Lagrange et Laplace ont résolues par d'autres voies.

Le retour général des séries , traité par les dérivations , qui fait Tobjet de l'article cinquième, est une des matières dont je me suis occupé avec le plus de plaisir et peut-être de succès. J'ose espérer qu'on la trouvera présentée avec plus de généralité et de facilité qu'on n'y en avoit mis jusqu'ici; qu'on jugera dignes d'attention le théorème très -étendu que j'ai placé à l'entrée de l'article , sa démonstration , et surtout la manière dont j'en ai fait découler les différentes propositions sur le retour des fonctions et des séries simples , propositions parmi lesquelles se trouvent les plus beaux théorèmes qu'on connoisse sur ce sujet ; et qu'on remarquera la facilité avec laquelle les développemens s'effectuent par les règles de dérivation.

Passant de là au retour des séries doubles , j'ai donné des solutions nouvelles des cas de Leibniz, Cousin, Lambert; des théorèmes fort généraux ; des formules remarquables par leur symétrie , dont quelques-unes peuvent être utiles dans le calcul différentiel.

Revenant ensuite aux séries simples , j'ai fait voir comment le rapprochement de quelques formules et de divers moyens d'arriver au retour des séries , conduit à des théorèmes et à des observations sur les dérivations. Je n'ai pu toucher que légèrement à l'usage qu'on peut faire des formules sur le retour des séries pour calculer par approximation les racines des équations ; et je n'ai pu entrer dans l'examen de la convergence de ces

yilj P R E F A C E.

formules : mon but principal ëtoit de considérer le retour des séries sous le point de vue des transformations.

Apres avoir considéré les dérivations dans les opérations seulement > J'ai supposé , dans farticle sixième , que les quantités variables dérivent elles -mêmes les unes des autres; ce qui a lieu dans le calcul différentiel et intégral.

Les formules et les règles des dérivations générales , trouvées précé^demment , servent à faciliter la pratique du calcul différentiel , principalement dans les cas oii les différentielles des variables sont variables elles-mêmes. J'en ai tiré des règles abrégées, tant pour déduire les unes des autres les différentielles successives , que pour calculer immédiatement la différentielle d'un ordre quelconque d'une fonction à une seule variable , lorsque les différentielles de cette variable sont elles-mêmes yariables. J'en ai tiré ensuite , pour les différentielles des quantités et (^es équations à plusieurs variables, des formules simples , et faciles à développer ultérieurement; parmi ces dernières je crois pouvoir faire remarquer des expressions générales des* rapports différentiels provenant d'une équation à deux variables , sans substitutions successives. J'ai donné de plus des formules, dont la loi est facile à saisir^ pour des cas aux différentielles partielles. v

En rendant négatifs les indices, j'ai étendu aux intégrales les formules de dérivation; j'ai remarqué et prouvé par des exemples, que le calcul des dérivations en général a son inverse , tout de même que le calcul différentiel a pour inverse le calcul intégral.

J'applique , dans cet article , aux différentielles , aux dérivées générales , aux relations entre les différentielles et les différences (finies) , une méthode de calcul qu'on peut nommer méthode de séparation des échelles d' opérations ■: elle donne le moyen de présenter sous une forme trèssimple des formules compliquées et de parvenir avec une extrême facilité à des résultats importans. Considérée généralement , cette méthode consiste à détacher delà fonction des ya,riables., lorsque cela est possible,

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