by
-H bè
-h coc
-\- cÇ
'vif-
-H du
-H dÇ H- ea
etc.
la loi des quantités qui multiplient chaque puissance de x est des plus simples , de sorte qu'on peut en conclure le coefficient d'un terme quelconque affecté de a;". '
. Pour ramener cette solution aux dérivations, j'observe que l'on a b =D.a^ c = ç^.«, d = ^\a, etc., C = D.a, y = ^^-cc, ^ = ^^«5 etc. ; A =zaut qui est l'origine des dérivations ; B = t>. (au)^ C=^^.(.au), X) = p^. (au), etc. : ainsi, en exprimant les coëfficiens précédons en dérivées, on aura j4 = au )
£ == D. (<2«) ==: atJi.u ~+- T>>il. u i
C = l^^.{au) = a.-gKu -H d. ^. d.» 4- p^.^ï.a, D = y^.{au) = a.-^'^.u-^ n.a.^^.u ^- -^^.a.-o.u H- p^.^.», E ='p4.(<3Ja) = <2.p4.a ^- D.^.p3.a5 4- p^.^. p^. « -h p^.^.D.» -i- p4.^.«, ' et ainsi de suite. De là résulte la proposition suivante.
87. Si les deux quantités a et u sont indépendantes l'une de l'autre, ainsi que leurs dérivées , la dérivée divisée de l'ordre n du produit a u sera donnée par cette formule
'^n,(au) = a.B\u 4- D.ûr.p»-».^ -H pa.fl.pn-a,^ ^- p3.^.p«'S. ^ f^ etc.
-f- p»-'^î. D.a H- p".^.«, où chaque terme n'a d'autre coefficient numérique que l'unité , abstraction faite de ceujç; qui sont indiqués par les c au-dessous du signe p.
88. Changeons 7? en w -H 1 , la formule précédente devient Ç«-+->.(a<y) == ^.gi-f-i.^ ^ p.«. p". a-Hp^ ^.p»'S« -+
etc.
H- p»-».^. p2. cg -H p".a, D. (K -i- p» •+- ». a. « : si l'on compare cette formule avec la précédente , on en conclud cette règle de dérivation.
DES DERIVATIONS. tjt-
RÈGLE
Pour déduire le développement de la dérivée divisée p""*"'. (<^a) de celui de 'D'^.(ace) quort suppose donné , a et oc étant des quantités indépendantes; ï.° dans chaque ternie ne faites ^varier 'que oc ou sa dérivée , et prenez- en la dérivée divisée suivante , laissez a et ses dérivées telles qu elles se trouvent, 2,° dans le terme seul qui renferme oc et la plus haute dérivée de a , faites encore 'varier la dérivée de a , et prenez- en la dérivée divisée suivante f en laissant le facteur ce tel qu'il est.
Au moyen de cette règle on tire successivement et sur-le-champ, de Az=.a»^ B z= aÇ -^ bw,
z= ay -^ bÇ -^ coct
a^ -^ by -^ c^ -{- dc^y
— aa -^^ b^ ■+- cy -h dÇ -\- eoùf
a^ -^ ba -^ c^ -^ dy -^ e^ -\- foct
etc.
, comme n.» 86. .
89. Le théorème et la règle précédentes suffisent pour développer le produit ou un terme quelconque du produit de tant de polynômes qu'on voudra. Pour le faire voir , nous allons les appliquer aux produits de trois et de quatre polynômes.
Proposons-nous donc de convertir le produit des trois polynômes
cx^
etc.
bx
cx^
dx^
etc.
ce
Sx
yx^
èx^
en
une
série de
cette
forme
Bx -h Cx^ -+- D
Bt
Le terme sans x est A =: aaec, c'est l'origine des dérivations : je considère le produit aa comme une quantité simple p , de sorte que j'aie A = poc , ce qui ramène le problème au précédent ; j'aurai donc, par le théorème du n,° 87,
A„ = ^".(aaoc) = p".(/?«) = aa.^''»oc -f- D.(aa). p«- ï. flî -h- ç^. i<ia). ç"- 2. ^^ -f- etc. -4- p«-». (a«),D.a-l- p".(fl«).a, où l'on observera que les quantités entre parenthèses sont elles-mêmes sujettes à la règle du n,° 88,
fl(l D U C A L C U L '
Le développement des termes successifs de la série se fait par dérivation ayec la plus grande facilité , et l'on trouve ainsi sur-le-champ u4. = a«. a,
B = aa.C 4- (ah -f- B«)a,
Ç == aa.y -4- (a^ -jr- ha)C *4- (dc -f- b^ -H ca)c»,
D = (Ka,l + {<xh -f- la)y -f- {<xc H- ï)^ 4- c«) ê* H- (a^? + 6c+ c^ + b^)« , £ z^^^if^(^,^ -H (a^ H- 6â^)(^4- {<xc 4- b^ -H c^;y -H (a^ 4- bc 4- c^ 4- b/2; g* g^ç , 4- (ae 4- b<i 4- ce 4- b^ 4- e<2)a ,
Il est visible que pour déduire £^ de £> , par exemple , il suffit de changer dans Z) les quantités (J,y,€',«en£,J,«y,g' respectivement, et de faire une dérivation sur la seule quantité (a^ 4- bc 4- tb 4- b«) qui multiplie «.
