Développons à présent le produit des quatre polynômes
2l4-23x4-(Sa:2-+-^a:3H- etc. ,
a 4- ba; 4- ^^"^ 4- ba;^ -}- etc.,
a -4- hx 4- ca;2 ^ dx"^ -f- etc. ,
• 05 4- é'x 4- ya;2 -}- Jx^ + etc. ,
en une série de la forme
A 4- Bx 4- Cx"^ ~\-' Dx^ -\- etc.'
L'origine des dérivations est A = 3ïa^a, que je partage en ces deux facteurs %(xa et « ; et, considérant 2( a ûj comme une quantité simple, le théorème précédent donne ""
çn. (Slaâî. a ) = 2ta^. p«.a 4- d. («Ua^^). p"-'.» 4- ç^. (2((,^).p«-2. ^ l etc.
4- p«.(2ta«).a, où l'on développera d. (5(a<2) , ^"^.{^^à) ^ etc. comme au n.° précédent.
On trouvera par dérivation les coëfficiens des termes successifs de la série ainsi qu'il suit, A =z ^aa.cc ,
B = ma.Ç 4- {2ta. ^ 4- d. (5ïa).«}a = 2ïa^. ^ 4- (51 a. 3 4- (9ïb 4- SSa)^}», C=5ra^.y4-(aia.^4-(2ïb4-85a»g*4-{2ta.c4-(5ïb4-93a;^4-(2(c4-^b4-(Sa»a, i)=2la«.J-f-{3lû.Z.-h(a(b4-23a)^}74- {5ïrt.c4-(a(b 4-S3a)^ 4-(2lc4-S3b4-ea>
4- {5ïfl./5?4- (2ïb 4-S5a")c4-(2U 4- 25b 4- ea)Z' 4-(3tb 4- S3c + (5b 4-Î)û)^}«, etc. , et , en faisant attention aux emboltemens , on continuera avec la plus
grande facilité autant qu'on voudra.
Ne
Ne négligeons pas d'observer qu'on peut aussi partager ^aae» en ces deux facteurs 2ïa et ^z«, et qu'alors le développement, quoique différent du précédent pour la forme , sera cependant le même pour le fond ; et qu*on trouvera par dérivation
u4 = Ola.^a,
B =z ^a{aC + hoc) -h (Slb + S5a)^a,
C = 2ra(^y + hl^+ coc) -h (2tb + S3a) {aÇ + M -f- (5ïc + S5b + €a)ûr«,
D = ^a(a$ ^ by -t cC + du) -h (3tb + 95a) (ay + ^ê' + r«)
-H (2tc + a5b + <Sa)(â5g' + hcc) -h (2lï) + 95c + gb + S)a)<za6,
etc.
On peut partager ^aacc en facteurs de trois manières , et l'on aura
= ma^".» H- D. (2(aa). p"- ». « -f- p2.(2îa^). p« - 2. « + etc. + p". (9ïa«). «, == 3ra.p''.(^za)+D.(2ïa).p«-'.(^7a) H- p2.(5ïa).p«-^ («a)-Hetc. H-p''.(5la).<z«, == Sfp". (a^2a) -H D.5ï.p«- ». (a^«) + p^. 2(. p« - \ {aûoc) -h etc. -H p". 2l.a^a.
91. Rien n'est plus facile que de calculer un terme quelconque indépendamment des précédons. Donnons-en un exemple.
On demande le 5.^ terme du produit des polynômes ,
2Ï -H 95 -H (S H- etc. , a-hh -+- c-|-etc. , « -h Z» -4- c -4- etc. , a-t- ê'+y H-etc. L'origine est -^ == 5ïa/za, et le 5.* terme sera indiqué par p4. 3ïrta«.
On fait un premier développement, qui donne
^^ = ^laa.s -h T>.{^aa).S H- p2.(3ïaa).y -i- ^^.{^laa).^ -f- p4. (OTa^ï). « ; on calcule présentement , en les faisant dériver les uns des autres , les développemens de d. (2taa) , p^. {^aà) , etc. , ce qui se fait facilement ainsi qu'il suit, D.(5la«) = ^a.b + (2ïb + 95a)^,
p2.(5ïa^) z= 2la. c -f- (Olb + 95rt)^ -+- (Oïc + 95b + (ga)^, p3.(5ïa«)=3(a.^-{-(atb +95a)c4-(2ïc + 95b + ea)^-+- (Oïb +95c + (Sb +3:)(x)<2, p4.(3taa)=5ta.e-i-(2ïb + 95a)^-f- («Kc + 95b + ^a)c-h (9ïb + 95c + (Sb + 25a) ^
-f- («Ue + 95b + ^c 4- 2)b + €a)^.
Ainsi on trouve pour ^^ , tout développé , y^^ == 3Ia«. sH- {îla^» M- (m + ^a>} (ÎH- {5ïac + (2lb H- ^a) ^ -H (5ÏC -H 95b -h ea) ^} y -f- { Oïa^ 4- (2lb -1- ?8a)c + (2tc + 95b H- €a)^ H- (2lb 4- 95c + (5b -f- 25a)«} C
.4- {2ïae 4- (2t& 4- S5«)<^ 4- (2tc 4- 95b -4- ^<i)c -h (5tb -f- 95c 4- Sb 4- î^a)^
