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^4 DUCALCUI.

92. Il suit encore des formules générales des n.°^ 87 , et 88 que pour déduire une dérivée divisée de la dérivée divisée de Tordre immédiatement supérieur, on a la règle suivante.

B. £ G li E.

Pour remonter du développement donné de p". (^a) à celui de'D*-^. {aoc)t rejetez le terme où se trouve u multiplié par la plus haute dérivée divisée de a; changez dans les autres termes chaque dérivée divisée de oc en sa dérivée divisée inverse.

Cette règle , convenablement étendue, s'applique aux dérivées d'un produit composé d'un nombre quelconque de facteurs , comme on peut le voir en examinant sur les cas des n.*'^ 89 et 90 de quelle manière chacune des quantités A ^ B ^ C ^ D , etc. dérive de celle qui la suit.

93. Le cas suivant est remarquable , principalement par les notations auxquelles il conduit : nous prendrons un exemple particulier , car on verra aisément que le procédé est général. Supposons qu'on ait à multiplier entre eux cinq binômes de la forme a -\- ^ , et à ordonner leur produit

{a ■\'x){a' ■\- x){a'' +x)(a''' •\'x){a''' -^ x)^ suivant les puissances de a? ; le résultat aura cette forme

A -{- Bx -\- Cx^ + Dx^ H- Ex^ + Fx^ ^ et l'on sait par la théorie des équations, que A=z ^a'^"^'"^*^, que B , C, Z), E sont respectivement les sommes des produits des cinq quantités a^ a\ a^\ û"' , a^^ , prises quatre à quatre , trois à trois , deux à deux , une à une , et que F =: 1.

D'un autre c6té, A = a a^ a^^ a^^^ a^"* est l'origine des dérivations ; les premières dérivées des quantités simples a ^ «' , ^" , etc. étant égales à l'unité , seront désignées par d<2, hcù , etc. , sans point après le d , et leurs dérivées des ordres supérieurs au premier seront toutes égales à zéro. Donc il faudra aussi désigner les dérivées successives divisées de «aV^^"'^" par D(^z«'«"«"'a'^) , p2(âJa'«"^"'^^'^), etc. sans point après le d. On aura ainsi D {a a^a^^cû^^a}"' ) = la somme des produits des cinq quantités prises quatre à quatre, p2 {aa^a^^a^'^a^" ) = la somme des produits de ces quantités prises trois à trois , ^'^{aa'a"a^"a^"') = la somme des produits de ces quantités prises deux à deux, ç4(^za'a"^"'<îi^) = la somme des cinq quantités,

DBSDlÉllIVATIOïfS. ^5

De là on conclud en général qu'en exprimant par aa'a"a"^ x». * a*^"^le produit de m quantités différentes , l'expression

ç'"-'^(^a'^"«"'X .... «""') désigne la somme de tous les produits différens de ces m quantités prises r kr: où l'on peut remarquer que le nombre r des quantités qui entrent dans chaque produit , est toujours égal au nombre m de toutes les quantités moins l'indice de D ; car , en supposant cet indice ^= n ^ on a n = m — r, et r = tu — n. Cette expression sert non - seulement à indiquer d'une manière abrégée la somme des produits, mais elle renferme encore la loi du développement, c'est-à-dire , la manière de former tous ces produits.

94. En effet , si par exemple on vouloît calculer immédiatement la somme des produits de cinq quantités prises trois à trois , il faudroit développer p5-3(^z û^'^»^«'^ivj __ D2^^^'^n^n,^,y^^ j7j^ faisaut attention qu'ici p^^, p5^ ,

etc. p2^' , etc. = o , on aura ( n.° 87 )

y^{aa'a"a"'a''') = D{aa'a"a"').Tia'^ -f- ^''{aaWa"').a'''', (1)

mais on a aussi

et -D^aa^a") = aa^i^a" -f- D^aa'ya";

donc D(aa'a"a"') = aa}a"Da}" H- [aa}Ba" -\- (ûDû' + Dcr. û')û"]. a'",

et de là , par dérivation ,

et mettant ces développemens dans la formule ( 1 ) , elle devient

p2(^^'^"^m^iy) == .... (2)

Si à présent l'on met partout dans (2) l'unité à la place de d^, d^ï*, d^", T>a^l' , na" , que nous n'avons conservées sous cette forme que pour faciliter les dérivations ; la formule ( q ) devient la somme de tous les produits de cinq lettres prises trois à trois.

Pour développer p'"-'"(<zû'a"... ^" "*) > on peut partager le produit aa'a"... a** "* en facteurs de différentes manières , ce qui donne des développemens de formes différentes et conduit à des théorèmes sur les combinaisons que nous

^6 DTJCAIiCUL

ne pourrions placer ici qu'en nous écartant trop de notre objet principal. Revenons aux polynômes.

gS. Si au lieu des dérivées divisées de au ( n.° 87 ) , on veut avoir une dérivée non divisée, d'un ordre quelconque, d". (â^a) ; il est clair qu'il suffira de multiplier tous les termes de la dérivée divisée du même ordre /z, par 1. Q. 3. . . . /z. Mais , r étant supposé <^ n , puisqu'un terme quelconque de la dérivée divisée p".(^«) est •

il est visible que ce terme , étant multiplié par 1. q. 3 . . . w, devient

où le coefficient numérique devant D^ a. Ti^-^.oc est le même que celui de a^ u^-^ dans le développement de (« + «)". On aura donc, pour la dérivée

non divisée , la formule

n^.iaoc) = a.D".c6-\- nji.a.D"-\oc-\ d^. ^^. D^-^.aH r— d=>. tf.D«-3«

-f- etc. H- 72 D" - ^ ^. D. a -\- d". a. oc , les coëfficiens numériques étant les mêmes que ceux de la puissance 72 du binôme a -|- <z.

On voit de plus , qu'on obtient la même formule pour d". {aoc) , en développant {ce -h ^y , pourvu qu'après le développement on change généralement «'■ en D^^ , 05* en D^a , et a^ en n^.a = a , ce,^ en t)^. ce = oC'

96. Puisqu'un terme quelconque de la dérivée divisée p". (a^«) est

et que, pour avoir la dérivée non divisée d". (a^a), il faut multiplier tous les termes par,i. q.3... 72; le terme précédent multiplié par ce produit sera

OÙ le coefficient numérique est le même que celui du terme a^a^ocP''''' dans le développement de la puissance du trinôme (a 4-<z + a)".

En continuant ces raisonnemens , il est visible qu'on a généralement