X 1.2....^ X 1.2... /' X 1. 2...iX

pour

DESDKRIVATIONS. ^rj

pour le coefficient de dp.û. dî. â!'.D''.^z".D'. ^"'. X .... dans le développement de D». (<ï«'<z"<z'".. . .) , coefficient numérique qui est aussi celui du terme af. ai, d^'. /»'"' X .... de la puissance (/z + a' + <ï" + «'" + etc. ) *.

Puisque l'onr a d'un côté, en regardant a et comme une quantité simple,

T>".{aaet) = 'D\a.ao6 -h /2d«- '.a. D.(^ia) -H d« - 2. a. d=». (û^ «) -+- etc.

+ an», («et); et que, d'un autre côté, on a pour la puissance n du trinôme a -h a -\- ce,

{a + a +«)« = *« (a + a)o + « a«- •(« + «)! H- - — ^ a'»-2(^z + cc)^ -f- etc.

^- ao(^z + «)«; que d'ailleurs, n.°précédent, (^z + ccY développé donne D'.(<2a), en changeant les exposans en signes dérivatifs du même ordre ; il s'ensuit que l'on aura le développement de d". (a^ïa) en développant (a + ^+a)" comme n.° 3i , pourvu qu'après le développement on change les exposans en signes dérivatifs D affectés d'indices égaux à ces exposans , et qu'on ait soin de changer aussi a^, a^ y aP en oo.a, vP.a^ 'oP-oc t c'est-à-dire, en a, ^ï,'«; ou, ce qui revient au même , pourvu qu'on donne trois facteurs à chaque terme , en suppléant à ceux qui manquent par celles des lettres a , « , a dont les dérivées n'entrent pas dans le terme. Ainsi puisque , n.** 3 1 , on a

+ etc. , •4- n.n- 1 n.7i-i.n-2 „ „

on aura aussi D'».(a^za) =

D*.a. «« + 72D"''. a.D. «. « -f- 72D"-». a.D. «. û H- D«-'.ft.2D.tf.D.«

n.n-i n,n- i.n- a ^ r. -|- etc.

Nous venons de faire voir que la correspondance qui existe entre les puissances des trinômes et les dérivées du produit de trois quantités , a lieu par cela même qu'elle a lieu entre les puissances des binômes et les dérivées du produit de deux quantités : de là on conclud , en suivant la même marche , qu'elle a encore lieu entre les puissances du quadrinome et les dérivées du produit de quatre quantités ; et partant , qu'elle a lieu généralement pour un nombre quelconque de termes dans le polynôme d'une part , et de l'autre , pour un môme nombre quelconque de quantités multipliées entre elles.

^8 DUCAIiCUIi

Donc on aura le développement de d". (^^z'^ï".... <z*'") en développant (tf H- <ï' + <z" + etc. + a""')" comme n.° 3i , pourvu qu'après le développement on change toutes les puissances en dérivées du même ordre ^ et qu'on donne à chaque terme le même nombre m de facteurs , en suppléant à ceux qui manquent par celles des lettres « , a'^ a" ^ etc. dont les dérivées n'entrent pas dans le terme.

La démonstration que nous venons de donner de ces homologies, nous parolt simple et rigoureuse : notre objet n'étant pas d'en traiter ici , il suffit d'avoir montré comment on y est conduit par notre calcul.

Problème.

gy. On propose de développer le produit de deux fonctions quelconques de polynômes ,

cp(û -^ bx -h cx^ -h dx"^ -h etc.) X -^ (ce -+- C^ -{- yx^ -+- $x^ -f- etc.) , en une série de la forme

^ + Bx + Cx^ H- Dx^ -+- etc.

Première solution. Il suffira de mettre (p a à la place de a et %[/ « à la place de a dans la solution du n.® 86 , et l'on aura par le théorème du n.° 87 , pour le coefficient d'un terme quelconque affecté de x",

^n = ç^-Ccpa-v^a) = (pa.Ç".-4/«5 -f- d. (pa. D«- '.-J/a H- ^^. (pa.■D"-\^lloc ■+•

d3. (pa. pn-s.-»]/» -+- etc. -+- p''.(pa.\|/«.

Rien n'est plus aisé que de développer cette formule, d'après le n." 49 et les règles des n.°^ 3o et 36 , et par conséquent de calculer un terme quelconque du développement indépendamment des autres.

La règle du n.** 88 , jointe à celle du n° 3o , donne le moyen de faire dériver les coëfficiens des termes successifs les uns des autres , et Ion trouve ^ = cp .7 X \)/ a ,

3= (pa X Ta-^oc.C 4- D(p<z. ^ X 4/«,

C = (pax (D\J/a. y -f- p^Cp«. C^) -H ^(p^.b X ï>\|/Q5.ê'-f- (ncp^. c-4- p2(pa. ^2) x \^«,

D = <paX (Dv)ya.^H-p2^a.2gy + p5(p«.€'3) H- T>(pa.l? X (p-^^a-y ~h ^--^oc.C^)

•4- (D(pa.c •+-'g~(pa.b^)XJi'^oc.C-h- (BCpa.d + ^^(pa. QècA- p^(pû- ^^) X A'oi »

etc.

98. S'il s'agit de développer le produit de trois fonctions de polynômes , p^(a-H&a?-hca;2H-etc.) X (p(a4-^^-Hca?2H-etc.) X -^ {oc -h Cx -h yx^-i- etc.);

BESDERIVATIONS. ^Q

on mettra pareillement %rt,(pa,\j;aàla place de a , a, oc respectivement , dans la solution du n.* 89 , et l'on aura

5^«.(pa. p^-J/a + D.(5^a. (pa). p«-ï.\l/« + ^-^{xa.^a).■g''-^.^l>oc -f- etc.

+ P^(%a.(Pû).^^«, où Ton développera n. (^^a. cpfl) , p^- (%<X'iCpû) , etc., comme on vient de développer d. ((pa.\|/a) , ^^.{^a,ylicc)j etc.

On voit ce qu'il y auroit à faire si l'on vouloit développer le produit de quatre ou d'un plus grand nombre de fonctions de polynômes.

Appliquons tout de suite cette solution à un exemple.

• Exemple.

99. Développer le produit des puissances quelconques r et j de deux poly*nomes , ^^ ^ ^^ ^ ^^2 ^ j^3 ^ ^^^^y ^ (^ |. g-^. ^ ^^2 4. ^^3 { etc. )' ,

en une série de la forme

^ -h Bx -H Cx2 + Dx^ H- etc.

On fera , n.° 97 , (pa = àF et \[/a = «"^ , et l'on aura , pour le coefficient de x^ ,

4- p''-^û^D.a* + p".û'.a% où il n'y a plus qu'à effectuer les dérivations indiquées , au moyen des régies des numéros 3o et 36.

Si on veut déduire les uns des autres les coëfficiens successifs A , B ^ C, JD, etc. , on y parviendra , par les règles des n.**® 88 et 3o , comme il suit. A = a^a^ B = a\scc'-'C -\- ra'- ^b.oc* y

D = ar(soc'-'S H a'-^Qê^y H r-a-'-^C^)

T r. /--i , /'. r-i. r-Q , « it\ , ■4-(/'û''-i Jh oF-'^^hc 4- = r a!-^h^)o(*,

'0O DUCAliCUL

+ {m'-'a + -: a'-^C'xbd + c2) -+- -^ — ^^- «'"-3 Zb'^c -t- ^^^ — ^M<^4)cg*

et ainsi de suite.

Si l'on veut le développement du produit de trois puissances de polynômes, {<x + \>x ■\- tx^ + etc. )'■ X {a-\- bx '\- cx"^ + etc. )' X (a + tx + «yx^ + etc. )' j on aura A zi=z a''a^o6^, le coefficient du terme affecté de x" sera

A^ = p«.(a''a'a') ^^'ûi^p". a'-i-D.(a''a*). p«-». a'-H-p=^. (a''û')-p''-'*.«'

-f- etc. H" p«. (a'û*). a' , et les coëfficiens développés des premiers termes seront A = a''tz^ ce', B = a'a'.tcc'-^C -f- {a'.sa'-'b H- ra»"-» 6. a')a',

et ainsi de suite , par dérivation.

loô. De la solution du numéro 97 on peut encore déduire deux autres solutions du même problème , où les développemens prennent d'autres formes.

Seconde solution. Si dans la solution du n." 97 on donne un premier développement en b aux quantités jy.(pa y p^.(p<2 , ^^.(pa^ etc. , sans développer D.\|/«, p=^.\p«5, p^.\)>a, etc. J on aura

u4 == cpa X y\^ccy '''

B = cpa X D.\|/a H- ii(pa.b X \)ya ,

C = cpa X p^.\I/a5 + ^(pa.b Xt>,-^c& •+■ (nCpa.'D.b -h -g^(pa.b^) X \l/<», £) = (paxp^.\)/a -h Dtpa. ^X p^'\|/a -H (D(p<2.D. ^ H- p^Cpo. ^2) X D.\j/a

H- (D(pfl. p2. ^ -i- ■^^(pa.-D.b^ H- p3(pa. ^5^ x -vl/a , £ = (pa X p^.\p« "H T>(pa.b X p^'-J^a + (D(|)â:.D. ^ H- p2(pa. ^2) x p^.^^ * 4- (Dcpa. p2. Z> 4- p^(pa.D.^^ -+- pS^pa.Z'S) x D. y^jcc 4- (D(pa. p3.^ -4- p2(p<z,p2.^2 ^ p3(pa.D.^5 |- p4(pa.M) X -J/a > etc.

Mais ,

WESD^RIVATIONS. 8l

Mais , avec une légère attention , on verra qu'en ordonnant ces développemens suivant (pa, D^a, p^(pa» etc. , on pourra les mettre sous cette forme B = (paXl>'4>X'^D(paXb.ylcc, ■

D =z cpaX ç5. -J/a -f- D(pa X p^. (^.\)/a) -h ^^Ça X D. ^b^.y^cc) 4- p3(^ X h^. \J/» , £ = (prt X p^.Npa H- D(pa X ^^.(b.y\^cc) -4- P^'cpa X p2.(^2.^^)

■4- ^^^pa X D.(A\|>a) -f- d4(Pû X M.\|;t«, etc. ; et , comme il est clair que la loi s'observe dans les termes suivans , on a pour un terme quelconque ^^ ^ ^^ ( ^ ^ ^ ^^ ^ ^

Ça X p''.\I/a-f-Dcp« X p«-^ (^.•4/«)-+-p2(pa X p''-^ (^^.g^^) + pS^p^ X p»-^. ( A-vJ/a)

-4- etc. H- p^-'cpû X D. (^«-».\[;a) -H p"(pa X ^".\|y«. Il est aisé de continuer les développemëns des dérivées indiquées , sur- tout si l'on écrit les termes de cette formule dans un ordre inverse. On remai'que que quand on fait dériver les termes successifs les uns des autres , tout se réduit ici à partager le terme DÇa. b.^ltcc dans l'expression de B , dans les deux facteurs d cpa et ^. \|>a , et d'en agir de même toutes les fois qu'on forme une nouvelle puissance de ^,

loi. Troisième solution. Tâchons actuellement de séparer entièrement des quantités polynomiales les quantités affectées des signes de fonction (p et \[/. A cet effet , donnons un premier développement , en ^, aux quantités d. <pû5 , p2. (p^z, p3. (p^, etc., et un premier développement, en C, aux quantités D'-J/a ï p^'-J/a } p^. \|/« , etc. que l'on auroit par la première solution n.** 97;

et nous aurons

^ = (pa.-^oc, ^ c ^

B =z Ça, D^l^ ce* C -h T>(p a. b.-\l^ ce j * c .c- ^

C = (pa. (D\)/a. D.C + p2\|/a. ê"^) + DÇa. b.D^l^oC'Q

4- {BÇa.D.b 4- p2<p^. ^2). ^^^ D = (pa.{ByJjoc.B^.C 4- p2-v)yQ5.D.C2 | p3^^.^3)

4- B(pa.b.{Dy^x.-D.Ç -h p2^|/t».ë'2) -j- {DÇa.B.b -\-y^(pa. ù^).Dyl/cC'C

4- (D(prt.p2.^ -f^ p2(p«.D.^2 | ^^(pa.b^)yl/cc, E = (p«(D-4/a.p3.g' j- p2^|ya5.p2.ë'2 ^- etc.) 4- etc.,

etc. Si l'on ordonne chacun de ces développemëns par rapport ^ux puissances et aux produits de C et Z», ils prennent la forme suivante,

gg .,; DUCAIiCUI.

' X ,. . H- p3 (P ^. -vj/ «. ^5,

£=(p^.D4/a.p5.Ç -+-<p^î5.p2'4/<«.p2.^2 -h(p^.p3-v)ya. D. ^3 ^-(p^.p4^|/a. g'4

-j-DÇf^.-vJ/a.p^.^ -f-D^^.D\pa. p^.(^0 -t-D(p<3.p2-vj/a. 0.(^5"-) -4- D(p^ï.p3-J/a5.^g'3

-suite - ^-p2(P^.^^fl;,p^.^2 -+-p2<p«.DT!(/a.D.(Z'2g') -f-p2(p^z.p2^a.^2g'2

et ainsi de suite. Ces développemens sont symétriques , et il est aisé d'en saisir la loi ; car il est visible que , dans les colonnes verticales , les produits des Ç et b suivent la même loi que dans les puissances correspondantes du binôme C ■+- b , et que les indices des d qui affectent \j/a et(pa sont réglés sur les exposans de ^ et de ^.

< On pourroit même , avec un léger changement dans les coëftiGiens numériques , donner aux termes en ê* et ^ les coëfficiens numériques des puissances du binôme S -h h ; car la troisième colonne verticale de E , par exemple , peut aussi s'écrire de cette manière

102, De là il est facile de conclure la formule du terme général, et, en y réunissant celles des n,**^ 97 et 100 , on a ce théorème,

Le coefficient du terme quelconque affecté de a;* dans le développement de (p{a'^i?x^cx^^ etc.) X \Kc»-f-C^H-y^- 4-etc, ), est donné par Tune de ces trois formules

DESDBRIVATIONS.' ' SS

<P^.ç«. \|;a -H D. (p^. p''-».'4/« -4- p^. (p^z. p«-2, %[/<^ 4- etc. H- p». (p«.\)/a,