IL... -^„ = P"-(<P«-vpa

(P^.p''.-4;a-t-'D(p«.p'»->. (^.\}/«)-f-p2<pâ^.pn-2. (^2.^^) ^ p5(p^. p«-5. (^3.^^)

-+- etc. H- p" <p«. ^".\|/^.

III ^„ = p«.(<pâ!.-4/a) =

H-D<p<2. \j/a. p«-i. ^ -f- D<p^. D\)/a. p''-2. (^ê*) + D<p<2. p2\{/cg. p«-3.(^g'2)

-H p2(p/z. <v)/ctf. pn-2. ^2 ^ p2(p^, D\);a5. p''-^- (^-Ô")

-f- p3 <p «. -vj/ a. p" ' ^. ^^

H- D<pût. p"- ' \f/a. Z» C'* -H etc.

io3. Considérons encore la série que donne la troisième solution. Il est visible, n.° loi , que la règle nécessaire pour déduire un coefficient quelconque de cette série du précédent , comme £ de JD , se réduit à prendre dans chaque colonne verticale de Z) la dérivée divisée des quantités polynomiales exprimées en ^ et ^ , et de prendre de plus dans la dernière colonne la dérivée divisée des quantités en <» , et en outre celle de la dernière quantité en a de cette même colonne.

104. La régularité des expressions du n.** 101 fait connoître comment la loi du développement s'étend à un nombre quelconque de fonctions de polynômes multipliées entre elles : car, si l'on a le produit dé trois fonctions , 5^(a-f-bx-i-ca;2 -{^ etc.) x (p (a -4-6ic-H c^^-f-etc.) X\K«-]- ^«3:?H- V-^^^H-etc), il est facile de voir que dans les colonnes verticales les puissances et les produits des C> ^ j ï> suivront la même loi que dans les puissances du trinôme C-f- ^-f-b , et que les indices des d qui affecteront \pctf, <p^, %«, se régleront sur les exposans de C? ^j b. Si l'on avoit quatre fonctions, les quantités polynomiales suivroient la loi des termes des puissances du quadrinome , et tiinsi de suite.

04 DUCALCUL ^

io5. Donnons à présent quelques exemples qui reviennent souvent dans

l'analyse.

Exemple I.*^^

On propose de convertir la fraction

a -H bx H- cx^ H- dx^ H- etc.

oc -^ Çx -\- yx^ -H Soc^ H- etc." en une série de cette forme

^ -\- Bx ^ Cx^ -H Dx^ -H etc.

I. On a ^ = <2a-i , d'où l'on déduit , par dérivation ( n.® 97. ) , B = — a.oc-^Ç -\- b.oc-\ C = a{—x-^y ■+- 06-^Q'^) — b.cc-^Ç -+- c.ot'\

£ = «( —oc-^8 + a-3(Qff(ÎH- 72)^-4 3g>2y |^ a" 5^^}

-\-b{ — oc-^^-{-oc-'^2Çy — 06-^1^^^) -\- c( — 06-''y + oc-^€^) — d.cc-^C + e.ocr' , et ainsi de suite ; et pour le coefficient du terme quelconque affecté de x" , on aura la formule

^^ z=z ■D".{ac)c-^) == a^^.oc'^ -f- b^'^-Kcc'^ -h c-g^-^.exr^ -4- etc. -f- <7„. «"', qui donne ce théorème. « Le coefficient du terme affecté de x" est formé 55 de la somme des 71 -\- i premiers termes de la puissance — 1 du polynôme »a-+- C -^ y -h ^ -\- etc. multipliés respectivement par les coëfficiens » a^bj c j d j etc. , an du numérateur de la fraction génératrice , écrits dans » l'ordre renversé. » "

IL On peut aussi ordonner les parties suivant les puissances négatives de ce, et on aura ainsi par la seconde solution du problème, n.° 100,

B = oc-Kb — oc-''^^a,

C = ot'.c — cc-^iCb -h ya) -4- a-^.Ç^a,

E = cc-',e —oc-^'iCd +yc -{-^b + g^) -+.«-3 {^^^ + ^Ç(yb+Sa')-hy''a}

— a-HC^b-+-3 C'y a) h- a'^. C^^a , etc. Cette solution coïncide , quant au fond , avec la précédente , mais elle en diffère pour la forme. On trouve pour un terme quelconque

^„=ç«. («->«)==«->. p«.«— «-2. p«-ï. (Ça) + (»-3.ç«-2. (€"2^) — a-4.pn-3. (g'3^) -H etc.

III. Si on veut disposer les parties de termes comme dans le développement du n.° 101 , on aura par dérivation, n.° io3 ,

-j-i cc'^.d ^ 1.^-2.

etc. Cette solution ne diffère des deux précédentes que par l'arrangement des parties, ainsi qu'il est facile de le vérifier. Je supprime la formule pour le terme général, parce quelle se conclud aisément de la loi qui règne dans les termes. . ,

Nous ne nous sommes tant arrêtés à cet exemple que parce que les solutions que nous venons d'en donner renferment une solution du problème : Trouver immédiatement un terme quelconque d'une série récurrente dont on connoit l'échelle de relation ou la fraction génératrice ; ^lution qui a l'avantage de n'exiger aucune décomposition en facteurs , et par conséquent de n'être point arrêtée par les difficultés que présente la résolution des équations des degrés supérieurs. Nous reviendrons sur ce sujet , pour le traiter avec détail.

I"V". Enfin, si on vouloit avoir un des coëfficiens B ^ C, D , etc. en termes récurrens , on mettrolt ^ = aoc' '^ sous cette forme ^oe, := a ^ et l'on auroit , pour l'équation qui donne le coefficient de x«, -^^.{Acc) =B".a, où il suffira de développer le premier membre par le théorème du n.° 87. Si l'on demandoit par exemple le coefficient de x^ , on trouveroit sur-le-champ' l'équation

Ayj -h B^ ■+■ Cs -^ nS -h- Ey -^ FC -h Goc =2 g, d'où il vient pour le coefficient demandé

G = -ig — FC -^ Ey — D^ -- Ce - Bi ^ Jy,).

oc

86 DUCAr^cuL

ExempleII.