Développer la fraction
ax"^ -\- bjc^-^ •\- cx*^-^ •\- dx"^-"^ -\- etc. OCX -\- Ç en une série descendante de cette forme
^x"» - » -h ^ x*" - 2 -{- Caj"" - 3 -f- £)a;'« - 4 4- etc. On Si A z=acc-^ , et (n.« 83)^ = d. (^za-'), C='p2. (^^-i) ^ etc., et le coefficient du terme affecté de a:'"-« sera j?»-*. (^ï<«-^ ) , où d. « = ^ et D. Çz= ^2. oc=i o '^ et l'on aura par dérivation , pour les coëffîciens développés des premiers termes, A = aoc-^ ,
B = — â^a-^C -f- Z'«-», C = aoc-^Ç^ — hoc-^Q -4- coî-i , D = — aoc-^Ç'^ -H bot-^C-^ — cx-^C-h dcc-* , etc.
DU CÀIiCUi.
On voit comment au moyen des dérivations on auroit sur-le-champ les termes si le numérateur de la fraction proposé se trou voit divisé par (ocac -^ ^)2, ou en général par {ococ -{- CY , ou par le produit de deux ou de plusieurs facteurs simples ccx-hC^ a-x -^'b , etc. , ou par le produit de plusieurs polynômes. Ainsi le terme affecté de x"^-"-" dans
ajc"^ -{■ boD"*-'^ + cx'"-^ + etc.
{ccx-{-Çy
aura pour coefficient le développement de p". (^za-'"), n.u étant = ^ et
oc
Il se présente ici une" foule d'exemples utiles sur-tout dans la théorie des équations. Mais en voilà assez pour montrer comment les dérivations conduisent d'ordinaire aux résultats demandés , de la manière la plus naturelle et la plus facile , et comment elles les expriment par des formules trèssimples , qu'on emploie ensuite avec le plus grand avantage , soit dans les démonstrations, soit dans des recherches ultérieures.
ExempleVI.
110. Soit X une fonction rationnelle sans diviseur de ^, de cette forme
X= 21^»» -H «S^»-» -f-^a;'»-2 -f- etc. -f- S^"-» -f- ^^'"-"-» -}- Cla;'"-«-^-{- etc. ; ...(i) on demande le coefficient de x*"-» dans la série résultante du développement
de , r-
{a — xy I
En faisant attention que d^ = — i et d^^ï = o , on a
(a — a;)-'" = ^-'"-f-Da-''. X -]--g^a"'.x^ -h Tt^ a.- ''. x^ -\- etc. ; .... (q) donc , en multipliant par cette série la valeur de JC , on trouve
-H etc.
^la"-
Xm }-«5^-^
x^-i -+^(ia-'
StDrfZ-'-
x^-hi -f-SSB^-»-
-hTiJya"'
-{-dB^a'^
H- etc. ,
-f- etc.
-h etc.
H- etc.
-H etc. ..(3)
Il résulte de là que le coefficient de x'"- " peut être exprimé par ç«. (^z-''.2ï)j pourvu qu'on fasse T>a= — i , et de plus , à cause que la série (i) est descendante tandis que la série (2) est ascendante, pourvu qu'on suppose que p^-'.SI, p"- 2. 2ï , etc. , au lieu de désigner les lettres qui précédent p''. 3ï = S) , désignent celles qui suivent £), savoir ^ , Q, etc. ; ou , ce qui revient au même , pourvu qu'on écrive p»-*-'. 2ï , p« + a. 91 , etc. , au lieu de p«- '. 21. p«- ^ 2Ï , etc.
De
DESD^RIVATIONS. 89
De cette manière le coefficient de a;'»-" sera ^".{a-f M ) = p«.2ï. «-'■ 4- p« + ». 2(.D^-'' + p«+^2(. p^^-»- -f-p'î+^.gï.pS^-r f etc. =
£).«-'■ + y. m-''-»H-£l«^'^ ^^^-'•-^4- gt. ^'^ ^'^"t '^^^-'"-^ +etc.
On aura pareillement pour le coefficient de a;*" , où n = o , po. («-'-.20= po.5i. ^-r } pi.5ï. D^-'' + p2.2ï. p^a-'' H-p3.2ï.p3âJ-'" -f-etc. Si , X étant la même série que ci-dessus, on demande le coefficient de x'"-«
dans le développement de 7 Vt r-7 : ; 01^ aura , en observant que
^^ (a-œy {a-œy {ec-oc/ ^
Drt, iia\ Dec = — ij et sous les mêmes conditions que ci- dessus ,
pn. (a-''û^-*a-'.2t) = ^".^.d-^a-'cc-* -4- p''-»-».9Ï.D(a-''â^-'a-') + p« + 2.5(.p2(<j-r^-^^-») | etc. , formule dont le développement ultérieur n'a plus de difficulté.
Lagrange a aussi donné pour la solution de cet exemple des formules élégantes , exprimées en différentielles , dans le tome V des Mélanges de Turin, pages 207 et 21g.
