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^ 1.2.3...(Ai-2)

-f- p««4-«— I (pa.

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mais la formule (lo) du n.° i36 donne des expressions réduites plus simples.

i38. Avant de chercher la règle pour développer les quantités polynomiales, cherchons la loi de formation de la formule ( i o ).

Si l'on examine comment les termes des séries ( g ) sont ordonnés dans la formule ( i o ) , on en voit résulter la loi de formation suivante.

Pour déduire d'une colonne verticale quelconque de la formule (lo) la colonne suivante , on fait varier a de ^' , dans tous les termes de la colonne donnée , et de plus a à^ h dans le dernier de ces termes seulement ; et l'on prend chaque fois la dérivée divisée suivante. En faisant varier a de h\ les exposans de V augmentent de l'unité , les indices de d' diminuent de l'unité, et les V se mettent sous les signes d et d'. En faisant varier « de Z» , l'exposant de h augmente de l'unité , l'indice de d diminue de l'unité , les h ne se mettent que sous le signe d. On rejette les termes où les indices de d' ou de d deviendroient négatifs. L'exposant de h ne peut pas devenir plus grand que 77Z , ni celui de U plus grand que n.

Les indices des d sans point , qui affectent (pa , sont toujours les mêmes que les exposans de b et de V dans le terme.

On peut ainsi former sur-le-champ le coefficient d'un terme quelconque de la série , exprimé en h et ^', en commençant par le terme Ti(pa. p*". p'«-^^'. Si l'on demandoit , par exemple , le coefficient de cc^y^ ; le premier terme seroit D^^. p4. p'2. ^' , et l'on trouveroit, en observant la loi de formation que nous venons d'exposer, l'expression suivante.

p4.p'3.cp^ï =

Ti(pa. p4. p'2. y -f. p2 (pa. p4. d'. V^ -f- p^Cp^« P'^- ^'' H- i>p'<p^. p^. (hV^)

-H Ti\i(pa. p3. (^p'2. V) -f- TiB^(pa. p3. (^d'.^'^) |p2p2^^.p2.(^2.u-'.^'2)

-hp^D<pû5.p2.(^2ç'2.^') -l-p^Dcp^.D. (^^p'2. b')

-f- p2p3(p^. p2. {b^b'^) -f- p^p^cp^. D. {0b'^) -h p^g^ cpû^' ^^ ^'^. •4- p5p^(p«. D. {b^D'.b'^) •+- p4p2^^^ b^^',b'^ ■+-p4D(pa. Mp'2. ^'

lia toucALCuii

iSg. Si l'on veut avoir la loi de formation en commençant par le terme p'"p''<p<j.^'"Z>'", pour en déduire successivement et en rétrogradant toutes les colonnes précédentes; il suffit de faire précisément l'inverse du procédé que nous venons de suivre ; c'est-à-dire , qu'une colonne quelconque étant donnée , on fera varier a de b dans chaque terme de cette colonne , puis encore a de h' dans le dernier terme seulement , et l'on prendra chaque fois la dérivée divisée inverse. En faisant ainsi varier a de b, les exposans de b diminuent , les indices de d augmentent de l'unité , et le signe d affecte ^ , jy' et h' ; et en faisant varier ^ de ^' , l'exposant de b' diminue , l'indice de d' augmente de l'unité , et le signe d' n'affecte que les b'. On rejette les termes où l'exposant de b ou de b' deviendroit négatif : ceux où b' précédé du signe d' auroit zéro pour exposant, disparoissent d'eux-mêmes, parce que p'^^'o = p''■. i =zo.

Les indices des d sans point qui affectent (pa et les diviseurs numériques indiqués par le c au-dessous de ces d, se règlent toujours sur les puissances des b et b' qui suivent dans le terme.

On peut de cette manière former le développement précédent de p4.p'3.(p^ ^ en commençant par le terme p4p3^^.MZ»'3 et rétrogradant.

Dans les formules (lo) et(i i) b et b' sont des premiers termes de polynômes.

140. Si l'on veut calculer à présent le développement réduit d'un coefficient quelconque de la série indépendamment des autres , les règles pour exécuter ce calcul découlent naturellement des lois que nous venons de trouver.

En effet, la loi du n.° i38, combinée avec la règle du n.° 47, donne la première de ces règles, et la loi du n.® iSg, combinée avec la règle dun.° 43 , en donne la seconde. Nous nous bornerons à énoncer cette dernière , qui est la plus facile à pratiquer et qui suffit dans tous les cas.

Mais auparavant il est bon d'avertir, pour éviter toute équivoque à l'avenir, que nous appellerons tenue de coefficient ce que nous venons de nommer colonne verticale de la formule ( 10) , c'est-à-dire, l'assemblage des quantités dans lesquelles les indices des d sans point qui affectent (pa forment la même somme ; et parties de terme , les quantités appartenantes au même terme où les puissances de b et b' , ou bien les dimensions des produits des lettres qui proviennent de ces puissances , sont différentes. Ainsi l'expression p3(p^.p4.^'3 -f-Dp2<p^. p3.(^D'.è'2) -}-p2D(p«. p2.(^2p'2.^') est un terme de coefficient, et chacun des trois termes de cette expression est une partie de terme.

DES DÉRIVATIONS. Il3

i4i. Observons encore à l'égard des quantités polynomiales , que quand on en prend les développemens réduits, chaque puissance de b^ n.° i36, donne des produits des lettres b , c, d, etc. sans accent, d'un même nombre de dimensions, égal à l'exposant de^, et que chaque puissance de V donne des produits de lettres accentuées et même différemment accentuées , tous d'un même nombre de dimensions, égal. à l'exposant de V. De plus, puisque les D sans accent affectent toutes les quantités polynomiales tant accentuées que non accentuées , il est aisé de voir que , quand on fait une dérivation D sur ces quantités , il faut regarder comme dépendantes les unes des autres les lettres qui portent le même nombre d'accens , ou celles qui n'en portent point , et comme indépendantes les unes des autres les lettres différemment .accentuées ; et que quand on fait une dérivation d' , il faut regarder comme dépendantes les unes des autres les lettres accentuées , même celles qui portent un nombre différent d'accens.

Après cela, voici la règle pour trouver sur-le-champ le développement réduit de p™. p'". <p«, en commençant par le terme p'"p'''<pâ!. ^"Z»'", c'est-àdire pour calculer le coefficient d'un terme quelconque de la série indépendamment des autres.

RÈGLE

142. Un terme quelconque développé et réduit du coefficient p*". p'». (^a de x^yn èi;ant donné , pour en déduire le ternie suivant , en remontant dans la formule du n.° i36 ;

1.° Diminuez de l'unité les puissances de b ^ en rejetant les produits qui ne contiennent pas b, et faisant sur les coëfficiens numériques les changemens qu'entraîne cette diminution des exposans de b ; prenez la dérivée suivante divisée d de toutes les quantités ainsi préparées , tant accentuées que non accentuées ^ et cela dans toutes les parties du terme donné.

2.0 Dans la seule partie du terme donné oit b a V exposant le plus grand , et où cette puissance de b n'a point subi de dérivation , diminuez encore les puissances de V de l'unité, en rejetant les quantités sans b\ et en faisant sur les coëfficiens numériques les changemens convenables; et faites une dérivation divisée d' , mais seulement sur les quantités accentuées.

En effectuant les dérivations d , il faut regarder comme dépendantes les unes des autres les lettres sans açcens et celles qui ont le même nombre d'accens f et comme indépendantes tes unes des autres les lettres différemment

Ff ■■^'^•'î-'

DU CALCirii

accentuées ; et quand on fait les dérivations d', il faut regarder' les quantités accentuées , même celles qui portent des accens dijférens , comme dépendantes les unes des autres.

Les indices de d qui affectent (pa, et les coêfficiens num,ériques qui en proviennent , se règlent sur les dimensions respectives des quantités poly^ nomiales accentuées et non accentuées.

Quant à l'opération qu'il faut faire pour changer les coêfficiens numériques en conséquence de la diminution de l'exposant de b ou de celui de V , elle se réduit , en conformité de ce qui a été dit dans la règle du n.° 48 , à multiplier par l'exposant avant la diminution , et à diviser par les dimensions que forment avant la diminution les lettres non accentuées si c'est l'exposant de b qu'on diminue , ou toutes les lettres accentuées si l'on diminue l'exposant de V,

143. Proposons pour exemple de calculer immédiatement le coefficient de x'^y'^. Le terme par lequel il faudra commencer est p^çS^p^. M^'3 j de là on déduira sur-le-champ tous les autres par le procédé de la règle, comme on les voit ici.

+ p4p2(pûr. ^4. Q^'c" -hp2p3^^. {^2^3^'2^' ^ Sb'c'^)

-h p3p2^^. ^b^ç^2b'd" 4- Q-c'c") ~\-:^^D(pa.b^d"'

•4- Dp3(p«. {b{3b'2e' -h 3b'2c'd' - -\-^2^^(pa.\b^(2b'e" -+- 7c'd" -f -h^^BCpa. {b^e'" + 3b^c,d"'}