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hc(2b'e"-^2c'd"-h2d'c") i-diQb'd" 4- 3c'c") 4- e2b'c"\

DES DÉRIVATIONS. Il5

Nous avons mis des lignes verticales devant les parties du coefficient qui forment ensemble un même terme.

i44' On a vu dans les développemens des fonctions de polynômes simples, que , dès qu'on a un coefficient du développement réduit , il est plus facile d'en déduire les suivans que de calculer isolément chacun de ces coëfficiens. La même chose a lieu pour les fonctions de polynômes doubles ; et nous allons nous occuper de la recherche des règles nécessaires pour atteindre ce but : mais nous observerons auparavant, en jetant les yeux sur la série (q) du n.** i3 1, que dans les fonctions de polynômes doubles il y a différentes manières de déduire les uns des autres ces termes ou leurs coëfûciens ; entre lesquelles il y en a trois principales , savoir : c

1.° On peut déduire les uns des autres les termes qui se succèdent dans la même ligne horizontale, formule (2) du n.** i3i ; par exemple, de C'j^ on peut déduire Z)"a>^*, E"œ^jy^j, F"x^y^, etc. : ici la puissance dey demeure la même , et celles de œ suivent les nombres naturels.

2..° On peut déduire les uns des autres les termes qui se succèdent dans la même ligne oblique, inclinée d'un angle demi-droit sur l'horizontale, dans la formule (q) du n.** i3i ; de Cx^, par exemple , on peut déduire D^x^y, E^x^y^^ F"'x^y^^ etc. : ici la puissance de x demeure la même, et celles de^ vont en augmentant.

5.** On peut déduire les uns des autres les termes qui se succèdent dans la même ligne verticale; de Dx^ ^ par exemple, on peut déduire D'x^y D"xy'^^ D"'y^ : ici x et y forment toujours le même nombre de dimensions, mais à chaque terme un x se change en y.

La première et la seconde de ces trois manières ne sont pas essentiellement différentes ; nous commencerons donc par exposer la première , nous dirons un mot de la seconde , et nous donnerons ensuite une méthode facile pour la troisième.

Formons d'abord les développemens en h et h' des premiers termes de la série demandée : leur ensemble formera un tableau sur lequeî^on lira les lois de dérivation qui lient les coëfficiens des différens termes les uns aux autres.

145. Pour former ces développemens en b et h' , il suffit de faire dans la formule du théorème précédent, n.° i36 , successivement et par ordre,

7» = o, 1,3,3,4,5, etc. ,

Il6 DUCALCUIi *

et de faire aussi , pour chacune de ces valeurs de fn , successivement j

7z = o, 1, Q, 3, 4, 5, etc. ,

en rejetant dans la formule générale tous les termes où les indices de d ou ceux de d' , et les exposans de b ou de ^ , deviennent négatifs ; ou bien on suivra les lois indiquées dans les n/^ i38 ou i3g. On trouvera ainsi pour les premiers termes du développement ceux qui suivent :

Xpa -\-j)(pa.b.x -h i}(pa.D.b -{-■^^(pa.b^

ji(pa.b'.y -\- D(pa.T).b' -l- j}j}(pa»bb'

x^ -h ^(pa. Ti'^.b -\- J)'^(pa.b'^

xy H- D<p«.p2.^' -l-»D(p«.D.(^^')

j^2 -f DÇa.B.j}' .b' -h ■D^<pa.-D.b'^ H- i>jy(pa.bB'.b' -i-j)^^(pa.bb'^

D(pa.-D'^.b' ^^(pa.n'.b'^

x^jy H- D(p<2. D^. ^'

H- ■Diy(pa,^^.(bb') -h^^-D(pa.D.{b^b') -hy^ii(pa.b^b'

xy2 } B(pa.:g\D' .b'

-i-DD(p«.D.(Z'D'.Z>')

+ j)B'^(pa.j).{bb'^) -h- ^^j)(pa.b^j}'.b' H-p2p2<pa.^aZ>'^

jy/'S -}- B(pa. D. p'2. Z»' H-p2(p^. d.d'. Z>'2

- B'^^Cpa.biy'.b'^

- D^^Ça.bb'^

-+- D:pa.^'^,b' H- p2<pâ!.p'2.^'a

H- etc.

-h etc.

xv^

ry.

etc.

H- etc.

DES DERIVATIONS. 1117

146. On remarque d'abord sur le tableau précédent , que nous aurions étendu davantage si l'espace l'avoit permis, que les coëfficiens des puissances de X sans y , aussi bien que ceux des puissances de y sans x , se déduisent les uns des autres par la règle du n.** 24. Il ne faut donc pas de règle particulière pour calculer ces coéfFiciens.

Quant aux autres coëfficiens , ne considérons -les que comme se suivant dans les mêmes lignes horizontales ; c'est - à - dire , en commençant par un terme affecté de y sans x , examinons la loi suivant laquelle se déduisent les uns des autres les coëfficiens des termes où la puissance de y demeure la même et où celles de x vont en augmentant.

Avec un peu d'attention on trouve la loi de dérivation qui suit.

Un coefficient quelconque étant donné , pour avoir le suivant appartenant à une puissance de x plus haute de l'unité ;

1.° Faites une dérivation divisée d sur les quantités polynomiales de chaque partie de terme du coefficient donné, cette dérivation affectant h^ aussi bien que h,

2..° Dans la dernière partie de chaque terme du coefficient donné , c'est-àdire dans celle où la quantité polynomiale n'est pas affectée de d sans accent, et où l'exposant de b est le plus grand ( cet exposant peut même être zéro ) , changez un facteur b' en b et faites une dérivation divisée d' , mais seulement sur la puissance restante de â', à l'exclusion de b; vous formerez ainsi la partie nouvelle que donne la dernière partie de chaque terme du coefficient donné.

Pour que cette partie nouvelle ait lieu , il faut que dans la dernière partie qui doit la donner , b' soit au moins à la deuxième puissance ; car si b' n'étoit qu'à la première puissance , en effaçant le facteur b' , on auroit à prendre la dérivée d' de l'unité ; or cette dérivée est zéro j donc dans ce cas il n'y a point de partie nouvelle.

3.° Enfin, quand on aura fait les deux opérations précédentes sur chacun des termes du coefficient donné , il faut encore, dans le dernier terme , faire varier ^ de ^ et prendre la dérivée divisée, ce qui donnera un terme nouveau.

Tant que les puissances de b et de b' ne changent pas , on laisse tels qu'ils sont les indices des d sans point qui affectent (pa; mais lorsque dans le cours de l'opération un b' se change en ^ , il faut changer aussi les indices de ces mêmes d.

Si on vouloit une démonstration rigoureuse de cette loi , on n'auroit qu'à mettre m -4- 1 au lieu de m dans la formule (10) n.® i36 , et comparer entre elles les deux formules. r^

ii8

DU CALCUI.

147. Au moyen de cette loi on peut continuer la série du n.* 145 aussi loin qu'on voudra, sans avoir besoin de recourir à la formule du n.** i36 ou aux lois des n.°^ i38 ou i3g.

Du terme affecté de y^ , par exemple ,

on déduira ainsi ceux affectés de xy^ , x^y^ , x^j^ , etc. , tels que les voici :

-t- B^(pa. D. b'^

n^{pa.^\T>'.b'^ VD(pa.D.{b^''^.b')

• VB^(pa.D.(bT>'.b'^) •p2D(p<^.ô2p'2. ô'

■■D-g'^(pa.D,(bb'^)

■p2p2(pd;. ^2d'. ^.'2

etc.

a:ji> -f-D^p^r. p2.p'2. ^ a;2j3 -1-D(p«.p3. p'2. ^'

-+- p2(p^. p3. d'. è'2 -f-DD(pû!. p2. (Z>p'2.ô')

-H Dp2(pâ5.p2.(^D'.3'2} -f-p2D(P^.D.(^2g'2.ô')

-H dd3(P^. p2. (bb'^)

-H-p^Dcpa. b^'g'^.b'

-hp^p^CpâJ.D. (Ô2^'3)

148. Si l'on applique maintenant aux formules des n.°^ 145 et 147, et à la loi du n.° 146 , les observations du n.° 141 sur les développemens réduits des quantités polynomiales , on arrive facilement à la règle suivante.

RÈGLE

Le développement réduit de p^.p'". ^a. étant donné, pour en déduire celui ^e p'«4-i.p"».(pa;

1." Dans chaque terme du coefficient donné , prenez la dérivée divisée D des quantités polynomiales de chaque partie de terme.

2.° Dans la dernière partie du tenue oit b non accentué a le plus grand

DESD^RIVATIONS. lig

exposant, et ri est point suivi d'autres lettres non-accentuées ( V exposant de h peut même être zéro, ce qui a lieu dans les coëfficiens des y sans x), diminuez en outre les puissances de b^ de l'unité dans tous les produits qui contiennent V , en rejetant les produits qui ne contiennent pas V , et augmentez de l'unité l'exposant de h : faites en même temps sur les coëfficiens numériques les changemens qu entraine ce changement d'un facteur V en b. Après cette préparation , faites une dérivation divisée d' , mais seulement sur les quantités polynomiales accentuées,

3.° Enfin, dans le dernier terme du coefficient donné ^^.^^'^.(^a , faites de plus une dérivation divisée d en faisant uarier a de b dans (pa.

Quant aux VK^a, '^-(pa , BTf(pa , etc. , les indices des D qui affectent (pa, et les dénominateurs numériques qui y répondent , se règlent toujours sur les dimensions respectives de toutes les lettres non accentuées et de toutes les lettres accentuées.

Nous venons de dire , dans la 2.* partie de la règle , qu'il faut faire sur les coëfficiens numériques le changement qu'entraînent la diminution de l'unité qu'on fait sur Texposant de V et l'augmentation de l'exposant de b. Ce changement se réduit à multiplier simplement , par l'exposant de V non diminué , chaque produit où se fait cette diminution , et à diviser par le nombre des dimensions de toutes les lettres accentuées avant la diminution.

En conformité des régies des n.*** 43 et 47 , on devroit i.** faire l'opération que nous venons de prescrire, et 2.^, comnie on augmente l'exposant de b^ on devroit aussi diviser par l'exposant de b augmenté et multiplier par le nombre des dimensions des lettres non accentuées , y compris celles de b après l'augmentation. Mais , comme la puissance de b qu'on augmente n'est jamais affectée de d dans la partie où se fait le changement d'un ^' en ô, et partant que b n'y est suivi d'aucune lettre non accentuée , la division et la multiplication se feroient par un même r ombre et s'entre - détruiroient. Ainsi toute la préparation se réduit au procédé que nous venons d'indiquer,