CL-z

etc.

Si l'on vouloit le sinus qui auroit pour arc un polynôme double , on feroit

sin« 2^ cosa

(pa =^ sm«, D(p« = cos^ , p^<p« = j p^<P« = — r^-^ » ^^c. ;

et ainsi pour d'autres fonctions.

DES D^IVIVATIONS. l5l

i58. Quant à la manière de calculer isolément le coefficient d'un terme quelconque, qui résulte de cette seconde solution du problème, nous allons l'expliquer brièvement.

Puisque le coefficient de x^-^yn est indiqué par '"po. p»». (p^ , il suffit de développer p'".(p« en b et d'affecter chaque terme de '"po ; on aura ainsi la proposition suivante , en remarquant que a , n'ayant pas de dérivée affectée d'accent, demeure constant dans l'opération indiquée par '«po.

Théorème.

Le coefficient du terme quelconque affecté de x^"^y'^ dans la série résultante du développement d'une fonction quelconque de polynôme double , peut être exprimé par cette formule ,

"'po.p'«.<p^ = D(p^.'''po.(p'»-».^) H- p2(pâ?>po.(p«-2.^2) | p3(p^.'«pO. (pm-3.^3) ^ etc, H- p«»-2(pâJ.'«po.(p2.^m-2) j p'n-i^p^. '«pO.(D.^'»-») -}- p'"(pût."*po. ^w.

Pour faire usage de cette formule , on calculera , par la règle du n.° l^j ou par celle du n.® 43, les développemens réduits de p'"-^^, p'"-^. ^2^ etc., p2,^OT-2^ D.^"*-*, b^ ; puis on prendra la dérivée '"po de chacun de ces développemens , en y regardant chaque monôme comme une origine particulière de dérivation , les quantités ^ , c , d ,, etc. comme indépendantes les unes des autres , et chacune d'elles comme un premier terme de polynôme ; on suivra pour cela les procédés du §. I." de l'art, second. Donnons -en un exemple.

169. Supposons quon veuille calculer immédiatement le coefficient de x^y"^ de la série résultante du développement d'une fonction quelconque de polynôme double. La formule précédente donne pour ce coefficient

p6^^.'5po.^G | p5^«.'3po.(D.^5) ^ p4(p«.'3po. ( p2.^4) -H p3(p^.'3po. (p3.^3)

•+- p2(p^z.'3po. (p4.^2) |> D(p«.'3po. (p5.^).

Je développe les quantités b^ <, n.b^^ p^. M, p3.^°, p^. ^% Ç^*^» g^ déduisant ces développemens les uns des autres comme n." 44 ; ou comme n.° 49 , en commençant par p5.Z> ; ensuite je prends la dérivée '^p^ de chaque terme dans chacun de ces développemens. p^.^ , par exemple , étant = 3^^^ + 3^2c^-+-c5,