etc
en une série triple , et calculer un terme quelconque de cette série indépendamment des autres.
On
DES
DERIVATIONS.
Gn observe dans le polynôme que les accens précédés de la virgule se rapportent auz 2, comme ceux avant la virgule ou sans virgule auxj^; que b n'a jamais qu'un accent soit sans virgule soit avec virgule, c n'en a jamais que deux , cl trois , e quatre , et ainsi de suite : ce qui sert à faire reconnoitre les derniers coëfficiens du polynôme.
161. Solution. En réfléchissant à ce qui a été dit au n.° i33 , on verra facilement que le coefficient du terme quelconque de la série affecté de x^y^z^ sera représenté par l'expression p'n.p'".p'''.(p^, qu'il s'agit de développer en h^ V et V\
A cet effet , on développera d'abord p'".D''^<p« , ce qui se fera en changeant dans la formule du n.° i36, d. eii d'. , d'. en d''. , b en b\ y en b'^ ^ m en n et n en r; ensuite on affectera de p*" chaque partie de terme du résultat; on développera de la manière pratiquée au n.° i35 , et en ordonnant par rapport aux indices des d qui affecteront Ça , on trouvera
p'».p'«.p'^<pa = D^fl.p'».p'«.p''''- '.^'' + p^cp^.p^p'». p'''-». ^''2 ^ p3(p^. pw. p^«. p"r.5^ ^'/3
-t-DD(f)a.p'».p'«-».(^'p'''"-».^'') + D^2(pa. p»». p''»-».(è'p''''-9.è''3) -\-in>(pa. p»»-». (Z'p'«.p'''"-^^'') H- p2D(p^. p*". p'n-2. (è'2p''''-ï.i'')
•4- D^^(pa. p»"- '. ;3p'". p'''"-2. ^''2)
-4- DDD(p/Z.p'»-».{Ap'«-l.(è'p''^-'.è'')}
etc. -Hp'"-5p"p''vp«.p3.(6'»-3iH'"')
-I- p^-apn - 1 pr^^.p2. j ^w- ajj', (^/« - i^Vf^l + p«-2p»p'-- 1 Ç)û.p2.^^« -2 ^'«d'\ ^Vr- ij H- p" - » p« - a pr<Pû5. D. { Ô"* - 1 p'2. ( i'« - a 3''r) J ^Ç»i.lpn.ipr-i^^,U.J3«-lD'.(^'»-Il,\^Vr.,)|
-H p*"- * p" p*"- * vp^. D. (A'«- 1 è'" p''2. ii'''--2)
-h p'-p"- »p^-3<pa. ^"'d'. (è'«-ip''2.6'''-«)
H- dd3^«. p". p'« - '. (^'p''' - 3. ^''3)
-|-p2p2^^. pW.p'n-2. (è'2p''r-a. 3''2^ -h p3D(p/2. p"». p'«-3. (^'3p''r- 1. ^Vj H- Dp3(p^z. pw-i. (^p'«. p'''--3. b'iZ^ -h DDp2<p/2.pw-l. j èp'«->.(ô'p'''--3 ^"2j j •4- Dp2D<pa.pw-i. { Ap'«-2.(^'2pVr.i J,V^ j
H- p2p2(p^. pm-a, (^3p'«. p''»--». è''2)
-i-p2DD(p/Z.p'"-2.{Ô2p'«.i.(^fDVr.,^'/^J
4- p5D(p^Z.p'«-3.,^63p'«.p''r-l. y') ^etC. ^ p^p^pr-S^pa. b'"b'''^''\ ^'''-3
i34 DtrcALCui,
| pmp«-3pr^^. 3mp'2. ^^'«-a^Vrj 4- p ""p "p*" ■ *^<2. ^'"Ô' "p''2. ^'''' - 2
Dans cette expression , bj b' , b'' doivent être considérés comme des premiers termes de polynôme.
162. Voici la loi qui règne dans cette formule. Pour déduire un terme quelconque de cette formule du précédent , il suffit de faire varier a de l/' dans chaque partie du terme donné , et encore a de ^' dans les parties où H' n'est qu'à la première puissance ; puis de faire varier a de l? dans la seule dernière partie du terme , c'est-à-dire dans celle où b'' est à la première puissance et où b' n'entre pas : on prendra chaque fois la dérivée divisée suivante. Lorsque a varie de b'' , les exposans de b'' augmentent , les indices de d'' diminuent de l'unité , et les Z>'' se mettent sous les signes d , d' et d'' : lorsque a varie de b' , les exposans de b' augmentent et les indices de d' diminuent de l'unité, . les b' se mettent sous les signes d et d' : et lorsque a varie de b, l'exposant de b augmente et l'indice de d diminue de l'unité ; ^ ne se met que sous le signe D. On rejette les parties dans lesquelles l'indice de d , ou de d' , ou de d'' deviendroit négatif. L'exposant de b ne peut pas devenir ]> w, ni celui de b' ^n, ni celui de b^'^r. (Comparez avec le n.o i38.)
i63. Si on veut lire la formule à rebours , en commençant par le terme p'"p''p^<pâr. b'"b'''b'"' et remontant ; on verra encore fort aisément la loi qui règne dans les termes successifs , et de quelle manière ils se déduisent les uns des autres. En effet , l'inspection de la formule fait voir que cette loi consiste à faire varier a de b dans chaque partie du terme donné ; ensuite à faire varier de plus a de b' dans les parties où ^ a le plus haut exposant et n'est point affecté de d, c'est-à-dire dans les parties où se trouve b"*; et enfin de feire encore varier a de b'' dans la partie où b et b^ ont les plus hauts exposans , sans D ni d' , c'est-à-dire dans la partie où entre b'^b"^. On prend chaque fois la dérivée divisée inverse correspondante. Dans ce cas , lorsque a varie
DES DÉRIVATIONS. l35
de b , les exposans de b diminuent et les indices de d augmentent chacun de l'unité ; lorsque a varie de y , les exposans de b diminuent , les indices de d' augmentent de l'unité; et lorsque a varie de b'^ , l'exposant de ^'' diminue, l'indice de d'' augmente de l'unité. Le signe d affecte ^ , d' , ^' , d'' et b'' ; le signe d' affecte b , d'' et b'^ , et le signe d'' seulement ^''. On rejette les parties où un exposant deviendroit négatif, et celles où l'exposant de ^'' seroit zéro. ( Comparez avec le n.o iSg. )
164. On tire de cette dernière loi la règle suivante pour calculer isolément le développement réduit à'un coefficient quelconque , en déduisant les termes les uns des autres.
RÈGLE
Pour déduire d'un terme donné et réduit d'un coefficient quelconque /e terme suivant , en remontant dans la formule précédente :
1.° Diminuez dans chaque partie du terme donné les exposans de b de l'unité ; faites ensuite une dérivation divisée d sur toutes les quantités polynomiales f tant accentuées que non -accentuées.
2.° Dans les parties seules oiu la puissance de b est la plus haute ("son exposant peut même être zéro) et n'a subi aucune dérivation d , diminuez de plus de l'unité les exposans de V , et faites une dérivation divisée d' sur toutes les quantités polynomiales accentuées , sans toucher à celles qui ne portent pas d'accent.
3.° Enfin dans la seule partie du terme donné où la puissance de b et celle de U sont à la fois les plus grandes et n'ont pas subi de dérivation ; diminuez encore de l'unité V exposant de V^> et faites une dérivation divisée j}', mais sur les seules quantités affectées des accens '', précédés de la virgule, sans toucher aux autres quantités polynomiales sans accent ou avec les accens ' sans virgule.
Chaque fois qu'on diminue un exposant de l'unité , on aura soin de rejeter les parties qui ne contiennent pas la lettre b ou V ou V^ dont on diminue V exposant i et on fera les changemens convenables sur les coèfficiens numé^ riqueSf changemens qui s'opèrent toujours par le procédé indiqué au n.° 148.
Quand on fait une dérivation d, les quantités sans accent doivent être considérées comme indépendantes de celles qui portent les accens ' et ^' , et celles qui portent les accens ' comme indépendantes de ces dernières avec
DU C À Tj C U I<
les accens *', On regardera aussi comme indépendantes les quantités qui portent un nombre digèrent des mêmes accens : mais on regardera comme dépendantes les unes des autres , les quantités qui portent un même nombre des mêmes accens , ou celles qui sont sans accent. Quand on fait une dérivation d' , laquelle ne s'opère que sur les seules quantités accentuées , on regardera comme dépendantes les unes des autres les seules quantités à accens simples ' où le nombre des accens change avec la lettre, comme c, d^ , e", y", etc, ;, les autres étant indépendantes. Enfin quand on fait une dérivation d'' sur les seules quantités affectées d' accens '' avec 'virgule., on regarder a ces quantités comme dépendantes les unes des autres. L'exemple suivant va éclaircir ce que nous venons de dire.
i65. On demande , par exemple , le coefficient réduit de x'^y'^z^ , représenté par p2.p'2. p''2^^^. On forme d'abord le terme ^^^^-^^ (pa. b^ b'^b''^ ^ duquel on déduit ensuite tous les autres par la règle , comme il suit :
-l-Dp2p2^^.j3(^'2Q^''^v ^ <ib'c^b''^) 4- c.b'^b''^]
-j- -g^B^Dtpa. b^b'^c" .
4- p2p2<^«. {Z»'2(Qè''^'' -H c''2) -4- Q^>'c' 2 W + {7b' d' 4- c'2)è''2} -f. DDp2(p«. i ^[6'(3^>''^'''4-qcV'04-c'q6'V''4^c^^'V'4-^''ô''2]-^c(6'q W''H-c''i''2) H- iy^^D(pa.{b{b'^d'" -{- zb'c'c") -H c.b'^c"]
-f- p2DD(p^. b^ (b' d''" -H c" c" )
^^D(pa. \ b'»e" -+- 2b'c'd'" H- (ab'd' -+- c'^) e'"\
ni2
-h iyig^<pa.{b{2b''e"'' -f- 2c'd"'> + 7c'''d"') H- c{2b''d"'' -
-f- DDD^. j b (b'e"" -H c'd>'" -h c"d'" ■+- d "c" ) + c {b'd''"
-h^^ii(pa.b2e"'"
-H ^^(pa. { q6''/"'' h- Qc''e"'' -h Q^''^i"'' -H Qc'''a''' -4- d'''^]
