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DES DERIVATIONS. iSy

i66. En suivant toujours la même voie que n.° 161 , il ne sera pas difficile de trouver la formule générale en h^ Z»' , ^'' , Z>"' , pour le coefficient du terme quelconque , affecté de x^y^z^u" , dans le développement d'une fonction quelconque de polynôme quadruple ,

a ■\' bx Aç. cx"^ + etc. A '^ -^

+ Vy + c'xy + etc. ' ^^i^<I*

H- Wz H- c"j2 + etc.

-i- If'^u + c^xz + etc.

+ c''y2 + etc.

(p 7 + c'"z2 + etc.

+ c^xu + etc.

+ c'"yw + etc.

+ c''''2w + etc.

H- c""w2 + etc.

+ etc.

coefficient qui est représenté par l'expression p"*. ç"*. p''»". p"'^ <pa. Nous ne nous y arrêterons pas , parce qu'au besoin le lecteur formera facilement cette formule , guidé uniquement par le fil de l'analogie ; et il en déduira la règle pour calculer le développement complet et réduit.

167. Retournons à la formule du n.° 161 , et tirons-en la règle pour déduire par dérivation les uns des autres les coëfficiens des termes de la série affectés des mêmes puissances de ^ et de 2 et des puissances successives de x.

Si dans la formule citée on fait successivement ttï = o , 1 , 2 , 3 , etc. , et que pour chacune de ces valeurs on fasse ^2 = 0, 1 , q , 3 , etc. , et que pareillement pour chacune de ces valeurs de m et de /z on fasse r = o , i , 2,3, etc. ; qu'on ait soin de rejeter tous les termes où les indices et les exposans deviennent négatifs , ainsi que ceux qui disparoissent d'eux-mêmes , parce qu'un de leurs facteurs devient zéro ; on tirera de la formule générale toutes les formules particulières pour les coëfficiens des termes de la série du développement. On peut encore se servir pour former ces formules particulières des lois des n.°^ 162 et i63. On aura, de l'une ou de l'autre manière, pour les coëfficiens de y^z"^ , xy^z"^ , x'^y^z'^ , par exemple , ceux qui suivent :

.dd(P^.d'.(^>'d''.^'')

■Dp2^«. D'.(Ô'6''2)

H- dd(P«.d.d'.(^'d''.6'')