Dp2(p«.p. D'.(Z

-HÇ2d^^.D.(Ô'2d''.3'0

-hDg2(p^.^p'2. è''2 4- p2p2(p^. D. (5'2d''2^)

-hDDp2(p^.^>D'.(è'^''2) -HDp2D(p<ï.èÔ'2D''Vè'''

-4-Dp2p2{pa.3i>'î26''2

- r>(pà. p2. p'2. jy'i, yi

-DD(pâ!.p2.D'.(^'D''.^'')

- T,Yi(pa. D. ( ^p'2. d''. V^)

- Ti^^^a. p2. d'. (^'/?»''2)

-p2p(pâJ.p2.(^'2D''J,V^

.+ T>p-(pa. D. (^p'2. ^''2)

+ p2p2(p«.p2.(^'2^V2) -h DDp2(pâr.D. (^d'.C^'Z»''2))

-f- Dp2|i2<pâf.I>. (è^'2Z>''2)

-t- p2Dp2^^. b^D'. {b'b''^) H- p2p2D^^. PB'^d'. b''

' i68. Ces termes suffisent pour faire connoître la loi de dérivation; car on voit que pour déduire d'un coefficient donné celui du terme de la série où oc est éèev.é à une puissance plus haute de l'unité, il faut i.**, prendre la dérivée divisée n de toutes les quantités polynomiales de chaque partie de terme j 2.°, que dans les parties de chaque terme où ^ a le plus haut exposant (eéU exposant peut même être zéro ) et n'est pas affecté de d , il faut de plus^ changer un b' en. b y et faire une dérivation divisée d' sur les è' et è>'' seulement; 3.*', qu'il faut encore, dans la partie de chaque terme où h et ^' ont les plus hauts exposans et ne sont pas affectés de d ou de d' , changer un è^'' en b , et faire ujie dérivation divisée d'' sur les. Z>'' seulement ; 4*° enfin, que dans- 'le dernier tenme du coefficient donné il faut faire encore une dérivation divisée sur (pa en faisant varier ^ de ^. -

DES D12RIVATI0NS, l59

Lorsqu'on fait les dérivations d, les indices des d qui affectent (pa demeurent les mêmes que dans le tetme donné ; mais lorsqu'on change un b' en b ou un b'' en bj ces indices changent aussi, de manière qu'ils soient toujours égaux aux ç^posans respectifs de ^ , b' y b''.

i6g. De cette loi découle la règle suivante pour les développemens réduit^ des coëfGciens.

Etant donné' le développement réduit de p*. p'". p''*". pd > coefficient de

x^y"-z'' y pour en déduire le développement réduit de p'"^-^ p'". p''^(pâJ, coëf^

Jicient de ac,^-^ ^y^^ > \.^ dans chaque partie de terme du coefficient donné

faites une dérivation divisée d sur toutes les quantités polynomiales y accen>-

^uées et non accentuées ; 2.° dans les parties de chaque terme du coefficient

donné où, b a le plus haut exposant et na pas subi de dérivation , diminuez

T exposaiit de U de l'unité dans tous les produits qui contiennent b\en rejetant

ceux où V n'entre pas , multipliez par b , faites les chan^emaj^s , convenables

sur les coëfficiens numériques ; et faites ensuite une dérivation divisée d'^ sur

toutes les quantités accentuées,: 3.° dans la partie de chaque terme dui eoëf-

. ' ; ;. ,:, If i .il '.-n^.... .'.) i .'.. ..' * ' : "' ''13;; / ';' /il.'''.,.' IV^ '■ U- «^

ftcient donné àù h. et îr ont les plus hauts- exposans et- n'ont pas subi , de dérivation , diminuez encore de l'unité chaque exposant de F^ , en rejetant les produits où V^ n entre pas , multipliez par b ^ et faites une dérivation divisée d'' sur les seules quantités qui portent l'accent '' ; 4*° enfin, dans le dernier terme du coefficient donné faites encore une dérivation divisée d en faisant ^varier a de- h dans (pa.

Quant aux indices des "d devant (pa , observez ce qui a été dit n.° 168; et quant aM.^ quantités que .dans les dérivations il f cuit considérer comme dépendantes ou indépendantes les une$:jdes autres , observez ce qui a été prescrit dans la règle du n° iÇ^,-; ' ■* "i î. n. i '- '.

Au moyen de cette règle on pourra trouver tous les termes du développement réduit de la fonction ; car on peut, trouver par la règle du n.° 142 ou par celle du n.^ 148 tous leS( termes a^ctés des différentes puissances de ^ et de 2 sans x , et 011 en déduira ensuite par la règle actuelle tous ceux affectés en outre des puissances su€cessrvea d« ds* rj \.

170. On peut aussi déduire lès coëfficiens les uiis des autres en cherchant ceux des termes de la série où les exposans de y vont en augmentant , les

l40 DU CALCUL

exposans de a? et de z demeurant les mêmes ; ou bien en cherchant les coëfficiens des termes de la série où les exposans de z vont en augmentant , ceux de x^làQ y demeurant les mêmes. Pour cela , au lieu de développer la formule r)'".p'".p''''.(p^, on développera celles-ci p'^p*". p''^ (p<x , ou p''»". p'".p'''»:p^, qui ne diffèrent de la première que par l'ordre dans lequel se font les dérivations; et l'on déduira de ces développemens en ^, U et ^'' , les règles convenables.

171. Si l'on compare la règle du n.** 169 avec celle du n.° 148, il sera facile de l'étendre au cas des fonctions d'un polynôme quadruple, n.° 166, pour déduire du développement réduit de p*". p'". p''''. p"". (pa celui de p^ï^- 1. p'«. p'"^. p"'*. (pot , et l'analogie suffira pour l'étendre encore aux fonctions d'un polynôme quintuple , etc.

^4ttVi'>'iv^^;^oîi j^ »«v\t. > (V. ) •

172. La seconde méthode dont nous avons fait usage n.° i5i et suiv. pour résoudre le problème proposé au n.^ i3i sur les polynômes doubles, s'applique naturellement au développement des fonctions des polynômes triples , au moyen de la considération suivante.

Si l'on compare entre eux le polynôme double n.° 1 3 1 et le polynôme triple ri.° i'6o , et qu'on fasse four un instant a; = 1 et^:= 1 , le polynôme double devenant ^ ^.v^^^^- >-v • ,.^ , . v:>vi •.;v\s ^a:^•l^\ iîr*t^'

H- etc....

H- eic..-.\.;.v^

-h etc.

-\- etc.

-f- etc. ;

on voit que', pour en déduire le polynôme triple , il suffît de changer

ï- .\> j. Z» en ^ -H y^z.

V demeurant invariable ;

9C|[qp[ .ijj8.ôiiVi9!t 2^. en^^; -^vc''2 -Ht'"'2^,

^A^WW'W^^^^W^'^^' demeurant invariable ; {h)

.^fimp f^pî^9^;i^9^,f)' ^ en «? -H d'^z + d'"z2 -h d''"'z^,

"" " uaîïîs' d'endj'H^i^''z^^"'z-,

: ... ^" en^" + J"''2, ., , ,, .

a'" demeurant mvanaplç * . , , ,

tioi . .àiilïija'.ûuj; rit) in07 X ab enfc<joq:î3 bg ifo an-^e fîl 9b r/?ii-.K

DES diSrivations. i4i

et ainsi de suite par rapport k e, e\ e", e'", «'^, etc. ; où l'on observe, comme n.° 160 , que le nombre total des accens, tant avant qu'après la virgule, ne peut jamais surpasser le quantième de la lettre dans l'ordre alphabétique moins un.

De là il s'ensuit que si on a le coefficient ç'".p'".<pâ5 de ^'^", tout développé et réduit , pour en déduire successivement les coëfficiens suivans de x^-'^y^z , jj»i-2j«22, a;'»-^»2;5, etc. , il suffit de considérer dans le coefficient donné chaque produit comme une origine particulière de dérivation ; de regarder les lettres b^ b\ CfC\ c", d, d' , d'\ d'", e , e' etc. comme indépendantes les unes des autres , et chacune comme un premier terme de polynôme ; de substituer à la place de ces lettres leurs valeurs précédentes ( ^ ) , et de développer les expressions résultant de ces substitutions suivant les puissances de z , par les règles du §. I.% article second, modifiées comme au n.*» i56. Les coëfficiens de z, 22, 2;5, etc. qu'on trouvera ainsi, seront ceux de x^-^y"z, x^-^y^z'^ y ^m-s^n^S^ etc. respectivement, c'est-à-dire , les développemens réduits de p»»-'. p'n.D''.<pâ5, g'»-2.p'«. p''2.(p^, p'"-3.p'«.p''3.(pâf, etc.

1 73. Pour éclaircir ce procédé par un exemple , supposons qu'on veuille avoir les coëfficiens développés et réduits de x'^y'^z^ xy'^z'^ , y^z^. On prendra dans la série du n.*' 1 5 7 le coefficient de x^y^ ; d'où l'on déduira successivement les coëfficiens demandés , ainsi qu'il suit :

Le coefficient de x^y^z sera

D<p^./"'' -H ^^-q)a. {2be"" -4- Q^''e''| + zb'e''' \ H- 2cd"'' -f- 2c^d"\-\-7c'd''' -H 2c'''^'|-H 2c"^'') ^ 3 ( 3b^d"'' -4- 6bb'>d" I -h ebb'd'"' -f- 6b'b''d' I -^3b'^d'' I + j

^ ^^'l 3b2c'c"-{-3b''<2Cc<'\-^3b2c'c'''-h3b''c'^ 1h 3^'(qcc''' -H ac'V))

+ p4(p<ï. (i2^2^''c" |-+- 12^2^'c''' -+- 2ibb'b''c'\ + 18 bb'^c' 4- i2b'^b''c} + p5<p^. 3ob^b'^b'',

Le coefficient de xy^z^ , déduit du précédent , sera

-i-^'(pa.{7be'''''~^ab''e''''\-h2b'e''''\-+^2c'd''''-h2c''^^^

4-p3(r)« (63^''^"'' + 3b'<^d"\-^ ôbb'd''" -4- 6b>b''d''' I + 3b'^d'"\-i-

^ ^ ( 3b2c''c»< -H 36'' 3c'"c" I H- 3/>c'''2 -+- 3 /.'' 2 c'c''' |-4- 3b'(2cV^ 2c'^c')

H- p4(pa. ( i23Z»''2c"|-i- 2^bb'b''c''' ±i2b'b''^c'\-^i'ibb'^c" 4^ izb'^bV) f p5(pâ!. 3obb'^b''^. j^ n

l4a DUCAliCtJL

Le coefficient dey^z^f déduit du précédent, sera

H- p2^«. (qôV"" I H- 'ib'e"'" I -+- 2c'"4"" I -f- Qc'V" I -f- 2c"^''")

-4- p3^^. (3Z»''^^"" I ■+■ 66'^''^''" I -f- 3b'^d'"' I 33''2c'"c" I -H SôV'^ | -f- 3^»''^c'"c"')

-\-n^(pa,iob'^b''^.

Puisqu'on sait calculer tous les coefficiens des termes sans z par le procédé du n.** i56, et que par le procédé actuel on peut en déduire tous les termes affectés des puissances successives de z ; il est clair qu'en réunissant ces procédés on peut développer entièrement une fonction de polynôme triple, ou pousser ce développement aussi loin qu'on voudra,^ s'il est de nature à ne pas se terminer.

Des Jonctions de deux ou de plusieurs polynômes doubles

ou triples.

174* Les problèmes dont nous allons nous occuper sont des plus compliqués, à cause de la multitude des quantités qu'ils entraînent ; leurs solutions cependant deviennent très-faciles par ce qui précède : elles résultent naturellement de la combinaison des règles et des formules de cet article et des articles précédens. Aussi me contenterai -je presque toujours dans ce paragraphe de présenter les formules générales, sans m'appesantir sur les règles de dérivation qui en découlent , et qu'on en tirera sans peine en suivant toujours la même marche que dans le paragraphe précédent.

Problème.